Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej [CAŁOŚCIOWE OMÓWIENIE]
Przykład 1
Rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej.
Ułamki o mianownikach: [latex]10, 100, 1000, ….,{10}^n,\ \ \left(\ \ n\in {N}_+\right)[/latex] nazywamy ułamkami dziesiętnymi.
Przedstaw liczbę w postaci dziesiętnej ( nie używaj kalkulatora)
a) [latex]\frac{3}{5}[/latex] b) [latex]\frac{9}{20}[/latex] c) [latex]\frac{17}{25}[/latex] d) [latex]\frac{7}{50}[/latex] e) [latex]\frac{16}{125}[/latex] f) [latex]\frac{5}{8}[/latex] g) [latex]\frac{1}{80}[/latex]
Przykład 2
Liczba wymierna ma rozwinięcie dziesiętne skończone jeżeli w rozkładzie mianownika na czynniki pierwsze występują jedynie [latex]2[/latex] i [latex]5[/latex].
Sprawdź, które ułamki mają rozwinięcie dziesiętne skończone, a które nieskończone:
a) [latex]\frac{3}{4}[/latex] b) [latex]\frac{13}{20} [/latex] c) [latex]\frac{7}{25}[/latex] d) [latex]\frac{11}{12}[/latex] e) [latex]\frac{5}{14}[/latex] f) [latex]\frac{3}{25}[/latex] g) [latex]\frac{3}{80}[/latex]
Przykład 3
Jaka cyfra znajduje się na dziesiątym, a jaka na trzydziestym miejscu po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby:
a) [latex]0,(26)[/latex] b) [latex]3,(3654)[/latex] c) [latex]4,7(369)[/latex] d) [latex]2,45(1234)[/latex]
Przykład 4
Zapisz podany ułamek w postaci dziesiętnej, a następnie podaj długość okresu nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego.
a) [latex]\frac{7}{6}[/latex] b) [latex]\frac{5}{7}[/latex] c) [latex]\frac{2}{11}[/latex] d) [latex]\frac{11}{27}[/latex]
Przykład 5
Zamień ułamek okresowy na ułamek zwykły:
a) [latex]0,(1)[/latex] b) [latex]-0,(7)[/latex] c) [latex]0,(9)[/latex] d) [latex]-0,\left(12\right)[/latex] e) [latex]0,3\left(2\right)[/latex] f) [latex]0,1(28)[/latex]
Przykład 6
Podaj rozwinięcie dziesiętne liczby:
a) [latex]\frac{5}{9}[/latex] b) [latex]\frac{1}{70}[/latex] c) [latex]\frac{7}{90}[/latex] d) [latex]\frac{13}{30}[/latex] e) [latex]\frac{14}{90}[/latex]
Podpowiedź:
[latex]\frac{1}{3}=0,3333333333333\ldots[/latex]
[latex]\frac{1}{7}=0,142857142857\ldots[/latex]
[latex]\frac{1}{9}=0,111111111111\ldots[/latex]
Przykład 7
Wyznacz [latex]x[/latex] i [latex]y[/latex] w rozwinięciu dziesiętnym liczby [latex]3,25(24xy36)[/latex], jeżeli na dwudziestym trzecim miejscu po przecinku stoi cyfra [latex]7[/latex], a na trzydziestym miejscu stoi cyfra [latex]9[/latex].
Przykład 8
Wyznacz liczby, które mają rozwinięcie dziesiętne nieokresowe:
a) [latex]\sqrt{32}[/latex]; b) [latex]\sqrt{25}[/latex]; c) [latex]\sqrt{\frac{1}{9}}[/latex] ; d) [latex]\sqrt{\frac{7}{4}}[/latex]; e) [latex]\sqrt{\frac{16}{49}}[/latex]; f) [latex]\sqrt[3]{64}[/latex]; g) [latex]\sqrt[3]{12}[/latex]; h) [latex]\sqrt[3]{4}[/latex] i) [latex]\sqrt[3]{\frac{27}{125}}[/latex]
Przykład 9
Przybliżenie z niedomiarem.
Jeśli pierwszą z odrzuconych cyfr jest [latex]0, 1, 2, 3, 4[/latex], to ostatnią z zachowanych cyfr pozostawiamy bez zmian.
Przybliżenie z nadmiarem
Jeśli pierwszą z odrzuconych cyfr jest [latex]5, 6, 7, 8, 9[/latex], to ostatnią z zachowanych cyfr zwiększamy o [latex]1[/latex]; gdyby tą ostatnią cyfrą była [latex]9[/latex], to zastępujemy ją zerem i zwiększamy o [latex]1[/latex] drugą cyfrę od końca.
Zaokrąglij do dwóch miejsc po przecinku:
a) [latex]0,2564[/latex] b) [latex]2,2893[/latex] c) [latex]5,135[/latex] d) [latex]0,7921[/latex] e) [latex]12,899[/latex] f) [latex]0,3076[/latex]