'

Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej

Przykład 1

Rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej.

Ułamki o mianownikach: [latex]10, 100, 1000, ….,{10}^n,\ \ \left(\ \ n\in {N}_+\right)[/latex] nazywamy ułamkami dziesiętnymi.

Przedstaw liczbę w postaci dziesiętnej ( nie używaj kalkulatora)

a) [latex]\frac{3}{5}[/latex]          b) [latex]\frac{9}{20}[/latex]          c) [latex]\frac{17}{25}[/latex]          d) [latex]\frac{7}{50}[/latex]          e) [latex]\frac{16}{125}[/latex]          f) [latex]\frac{5}{8}[/latex]          g) [latex]\frac{1}{80}[/latex]

Przykład 2

Liczba wymierna ma rozwinięcie dziesiętne skończone jeżeli w rozkładzie mianownika na czynniki pierwsze występują jedynie [latex]2[/latex] i [latex]5[/latex].

Sprawdź, które ułamki mają rozwinięcie dziesiętne skończone, a które nieskończone:

a) [latex]\frac{3}{4}[/latex]          b) [latex]\frac{13}{20} [/latex]          c) [latex]\frac{7}{25}[/latex]          d) [latex]\frac{11}{12}[/latex]           e) [latex]\frac{5}{14}[/latex]          f) [latex]\frac{3}{25}[/latex]          g) [latex]\frac{3}{80}[/latex]

Przykład 3

Jaka cyfra znajduje się na dziesiątym, a jaka na trzydziestym miejscu po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby:

a) [latex]0,(26)[/latex]          b) [latex]3,(3654)[/latex]          c) [latex]4,7(369)[/latex]          d) [latex]2,45(1234)[/latex] 

Przykład 4

Zapisz podany ułamek w postaci dziesiętnej, a następnie podaj długość okresu nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego.

a) [latex]\frac{7}{6}[/latex]          b) [latex]\frac{5}{7}[/latex]          c) [latex]\frac{2}{11}[/latex]          d) [latex]\frac{11}{27}[/latex]

Przykład 5

Zamień ułamek okresowy na ułamek zwykły:

a) [latex]0,(1)[/latex]          b) [latex]-0,(7)[/latex]          c) [latex]0,(9)[/latex]          d) [latex]-0,\left(12\right)[/latex]          e) [latex]0,3\left(2\right)[/latex]          f) [latex]0,1(28)[/latex]

Przykład 6

Podaj rozwinięcie dziesiętne liczby:

a) [latex]\frac{5}{9}[/latex]          b) [latex]\frac{1}{70}[/latex]          c) [latex]\frac{7}{90}[/latex]          d) [latex]\frac{13}{30}[/latex]          e) [latex]\frac{14}{90}[/latex]

Podpowiedź:

[latex]\frac{1}{3}=0,3333333333333\ldots[/latex]

[latex]\frac{1}{7}=0,142857142857\ldots[/latex]

[latex]\frac{1}{9}=0,111111111111\ldots[/latex]

Przykład 7

Wyznacz [latex]x[/latex] i [latex]y[/latex] w rozwinięciu dziesiętnym liczby [latex]3,25(24xy36)[/latex], jeżeli na dwudziestym trzecim miejscu po przecinku stoi cyfra [latex]7[/latex], a na trzydziestym miejscu stoi cyfra [latex]9[/latex].

Przykład 8

Wyznacz liczby, które mają rozwinięcie dziesiętne nieokresowe:
a) [latex]\sqrt{32}[/latex];          b) [latex]\sqrt{25}[/latex];          c) [latex]\sqrt{\frac{1}{9}}[/latex] ;          d) [latex]\sqrt{\frac{7}{4}}[/latex];          e) [latex]\sqrt{\frac{16}{49}}[/latex];          f) [latex]\sqrt[3]{64}[/latex];          g) [latex]\sqrt[3]{12}[/latex];          h) [latex]\sqrt[3]{4}[/latex]          i) [latex]\sqrt[3]{\frac{27}{125}}[/latex]

Przykład 9

Przybliżenie z niedomiarem.
Jeśli pierwszą z odrzuconych cyfr jest [latex]0, 1, 2, 3, 4[/latex], to ostatnią z zachowanych cyfr pozostawiamy bez zmian.

Przybliżenie z nadmiarem
Jeśli pierwszą z odrzuconych cyfr jest [latex]5, 6, 7, 8, 9[/latex], to ostatnią z zachowanych cyfr zwiększamy o [latex]1[/latex]; gdyby tą ostatnią cyfrą była [latex]9[/latex], to zastępujemy ją zerem i zwiększamy o [latex]1[/latex] drugą cyfrę od końca.

Zaokrąglij do dwóch miejsc po przecinku:

a) [latex]0,2564[/latex]          b) [latex]2,2893[/latex]          c) [latex]5,135[/latex]          d) [latex]0,7921[/latex]          e) [latex]12,899[/latex]          f) [latex]0,3076[/latex]