Sposoby opisywania ciągu [CAŁOŚCIOWE OMÓWIENIE]
Wprowadzenie
Ciągiem nieskończonym nazywamy funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych dodatnich.
Przykład 1
Wypisz sześć początkowych wyrazów ciągu:
a) kolejnych liczb naturalnych, których kwadrat jest mniejszy od $latex 101$,
b) kolejnych liczb pierwszych większych od $latex 6$.
Przykład 2
Naszkicuj wykres ciągu o wyrazach:
a) $latex -1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2,-3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }4,-5,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }6$…
b) $latex 0,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }0,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }0,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2\ldots $
c) $latex 4,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }4,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }4,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }4,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }4,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }4,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }4,\ldots $
Ciągi możemy opisać słownie, przez podanie warunków jakie spełniają wyrazy tego ciągu. Możemy także podać wzór na $latex n$-ty wyraz tego ciągu tzw. wzór ogólny ciągu.
Przykład 3
Podaj wzór ogólny ciągu:
a) $latex 1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }4,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }5,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }6,\ldots $
b) $latex 1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }4,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }8,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }16,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }32,\ldots $
c) $latex 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\ldots $
d) $latex 1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }4,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }9,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }16,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }25,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }36,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\ldots $
e) $latex 1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }5,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }7,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }9,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }11,\ldots $
f) $latex 1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\sqrt{2},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\sqrt{3},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\sqrt{5},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\sqrt{6},\ldots $
g) $latex -\frac{1}{2},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-\frac{1}{3},-\frac{1}{4},-\frac{1}{5},\ldots $
Przykład 4
Oblicz pięć początkowych wyrazów ciągu $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$ określonego wzorem:
a) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=\frac{\text{n}}{{\text{n}+1}}$
b) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=\frac{{{{\text{n}}^{2}}-9}}{{\text{n}+3}}$
c) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=\frac{{{{\text{n}}^{2}}}}{{\text{n}+2}}$
Przykład 5
Oblicz następujące wyrazy ciągu $latex \left( {{{a}_{n}}} \right):{{a}_{1}},~{{a}_{3}},~{{a}_{5}}$.
a) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}={{\left( {-1} \right)}^{{\text{n}+1}}}\cdot \frac{{\text{n}+3}}{{2\text{n}+4}}$
b) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}={{\left( {-1} \right)}^{\text{n}}}\cdot {{2}^{{\text{n}-1}}}$
Przykład 6
Które wyrazy ciągu $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$ są równe zeru?
a) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=\text{n}-5\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$
b) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}={{\text{n}}^{2}}-3\text{n}-4$
c) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}={{\text{n}}^{2}}-100$
d) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=\frac{{{{\text{n}}^{2}}-8\text{n}}}{{\text{n}+5}}$
e) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=\left( {{{\text{n}}^{2}}-25} \right)\left( {{{\text{n}}^{2}}-81} \right)$
f) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=\frac{{{{\text{n}}^{3}}-12{{\text{n}}^{2}}+36\text{n}}}{{{{\text{n}}^{2}}+1}}$
Przykład 7
Które wyrazy ciągu $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$ są nieujemne?
a) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=16-4\text{n}$
b) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}={{\text{n}}^{2}}-36$
c) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=-{{\text{n}}^{2}}+8\text{n}-15$
d) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=12-{{\text{n}}^{2}}$
Przykład 8
Które wyrazy ciągu $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$ są ujemne?
a) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=5\text{n}-6$
b) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=-3\text{n}+7$
c) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}={{\text{n}}^{2}}-15$
d) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}={{\text{n}}^{2}}-6\text{n}$
e) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}={{\text{n}}^{2}}-5\text{n}+4$
Przykład 9
Które wyrazy ciągu $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$ są ujemne?
a) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=5\text{n}-6$
b) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}=-3\text{n}+7$
c) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}={{\text{n}}^{2}}-15$
d) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}={{\text{n}}^{2}}-6\text{n}$
e) $latex {{\text{a}}_{\text{n}}}={{\text{n}}^{2}}-5\text{n}+4$