'

Suma ciągu arytmetycznego

Twierdzenie 1

Jeśli $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$ jest ciągiem arytmetycznym, to suma $latex n$ początkowych wyrazów tego ciągu wyraża się wzorem
$latex {{S}_{n}}=\frac{{{{a}_{1}}+{{a}_{n}}}}{2}\cdot n=\frac{{2{{a}_{1}}+\left( {n-1} \right)r}}{2}\cdot n$

Przykład 1

Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych.

Przykład 2

a) Oblicz sumę $latex {{S}_{{20}}}$ ciągu arytmetycznego: $latex 3,~7,~11,~15,~\ldots $
b) Oblicz sumę $latex {{S}_{{30}}}$ ciągu arytmetycznego: $latex -2,~-8,~-14,~-20,~\ldots $

Przykład 3

Znajdź sumę:
a) Wszystkich liczb naturalnych od $latex 0$ do $latex 160$ włącznie.
b) Wszystkich liczb nieparzystych od $latex 0$ do $latex 160$.
c) Wszystkich liczb parzystych od $latex 0$ do $latex 160$ włącznie.

Przykład 4

Oblicz liczbę $latex n$ wyrazów ciągu arytmetycznego, jeśli:
$latex {{\text{S}}_{\text{n}}}=420,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{a}}_{1}}=7,\text{ }\!\!~\!\!\text{ r}=3$
$latex {{\text{S}}_{\text{n}}}=578,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{a}}_{1}}=58,\text{ }\!\!~\!\!\text{ r}=-3$
$latex {{\text{S}}_{\text{n}}}=407,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{a}}_{1}}=62,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{a}}_{\text{n}}}=12$

Przykład 5

Wyznacz różnicę $latex r$ ciągu arytmetycznego, jeśli:
$latex {{\text{S}}_{5}}=20,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{a}}_{4}}=8$
$latex {{\text{S}}_{6}}=3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{S}}_{{20}}}=-130$
$latex {{\text{a}}_{1}}=50,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{S}}_{{14}}}=518$

Przykład 6

Oblicz sumę wszystkich liczb dwucyfrowych podzielnych przez $latex 3$.

Przykład 7

Oblicz sumę wszystkich liczb dwucyfrowych, których reszta z dzielenia przez $latex 4$ jest równa $latex 1$.

Przykład 8

Rozwiąż równanie:
$latex 3+9+15+\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\ldots \text{ }\!\!~\!\!\text{ }+\text{x}=363$
$latex 2+7+12+\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\ldots +\text{x}=245$

Przykład 9

Wyprowadź wzory na podane sumy:
a) $latex 1+2+\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\ldots \text{ }\!\!~\!\!\text{ }+\text{n}$
b) $latex 3+6+9+\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\ldots \text{ }\!\!~\!\!\text{ }+3\text{n}$
c) $latex 5+10+15+\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\ldots \text{ }\!\!~\!\!\text{ }+5\text{n}$
d) $latex \text{n}+2\text{n}+3\text{n}+\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\ldots \text{ }\!\!~\!\!\text{ }+{{\text{n}}^{2}}$
e) $latex 1+2+3+\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\ldots \text{ }\!\!~\!\!\text{ }+\left( {\text{n}-1} \right)$
f) $latex 1+3+5+\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\ldots \text{ }\!\!~\!\!\text{ }+\left( {2\text{n}-1} \right)$

Zadanie Maturalne 1

Przykład 10. [matura, czerwiec 2016]
Dany jest ciąg arytmetyczny $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$ określony dla każdej liczby naturalnej $latex n\ge 1$, w którym $latex {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{4}}=2016$ oraz $latex {{a}_{5}}+{{a}_{6}}+{{a}_{7}}+~\ldots ~+{{a}_{{12}}}=2016$. Oblicz pierwszy wyraz, różnicę oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$.

Przykład 11

W nieskończonym ciągu arytmetycznym $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$ pierwszy wyraz $latex {{a}_{1}}$ jest równy $latex 7$ oraz ostatni wyraz $latex {{a}_{n}}$ jest równy $latex 89$. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa $latex 2016$. Oblicz ile wyrazów ma ten ciąg.

Przykład 12

Dla każdej liczby całkowitej dodatniej $latex n$ suma $latex n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$ jest określona wzorem $latex {{S}_{n}}=2{{n}^{2}}+n.$
a) Oblicz drugi wyraz tego ciągu.
b) Wyznacz wzór ogólny tego ciągu.

Przykład 13

Ciąg arytmetyczny $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$ określony jest wzorem $latex {{a}_{n}}=2016-3n$, dla $latex n\ge 1$. Oblicz sumę wszystkich dodatnich wyrazów tego ciągu.

Przykład 14

Suma trzydziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$, określonego dla $latex n\ge 1,$ jest równa $latex 30$. Ponadto $latex {{a}_{{30}}}=30$. Oblicz różnicę tego ciągu.

Przykład 15

Dany jest ciąg arytmetyczny $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$, określonym dla $latex n\ge 1$, w którym spełniona jest równość: $latex {{a}_{{21}}}+{{a}_{{24}}}+{{a}_{{27}}}+{{a}_{{30}}}=100$
Oblicz sumę $latex {{a}_{{25}}}+{{a}_{{26}}}$.

Przykład 16

W ciągu arytmetycznym $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$, określonym dla $latex n\ge 1$, dane są: wyraz $latex {{a}_{1}}=8$ i suma trzech początkowych wyrazów tego ciągu $latex {{S}_{n}}=33$. Oblicz różnicę $latex {{a}_{{16}}}-{{a}_{{13}}}$.

Przykład 17

Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$, określonego dla $latex n\ge 1$, jest równy $latex 30$, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa $latex 162$. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Przykład 18

W ciągu arytmetycznym $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$ określonym dla liczb naturalnych $latex n\ge 1$, wyraz szósty jest liczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa $latex {{S}_{{10}}}=\frac{{15}}{4}$. Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.

Przykład 19

Dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$ określonego dla $latex n\ge 1$, jest równy $latex 34$, a suma jego ośmiu początkowych wyrazów jest równa $latex 110$. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

Przykład 20

Ciąg arytmetyczny $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $latex n\ge 1$. Różnicą tego ciągu jest liczba $latex r=-4$, a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu $latex {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},{{a}_{4}},{{a}_{5}},{{a}_{6}}$ jest równa $latex 16$.
a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
b) Oblicz liczbę $latex k$, dla której $latex {{a}_{k}}=-78.$