'

Suma miar kątów w trójkącie

Twierdzenie

Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa $latex 180{}^\circ $.

Przykład 1

Oblicz miary kątów trójkąta prostokątnego, w którym jeden z kątów ostrych jest o $latex 36{}^\circ $ większy od drugiego.

Przykład 2

a) Wykaż, że trójkąt, w którym suma dwóch kątów jest równa trzeciemu kątowi, jest trójkątem prostokątnym.
b) Wykaż, że trójkąt, w którym jeden kąt jest dwa razy większy od drugiego kąta, a trzeci kąt jest trzy razy większy od najmniejszego kąta, jest trójkątem prostokątnym.

Przykład 3

a) Stosunek dwóch kątów wynosi $latex 3:5$, a miara trzeciego kąta jest o $latex 37{}^\circ $ większa od miary najmniejszego kąta. Oblicz miary kątów tego trójkąta.
b) Stosunek miar kątów trójkąta wynosi $latex 2:3:5$. Oblicz miary kątów tego trójkąta.
c) Miary kątów wewnętrznych pewnego trójkąta pozostają w stosunku $latex 3:4:5$. Oblicz miarę najmniejszego kąta wewnętrznego tego trójkąta.

Przykład 4

Oblicz miarę kąta $latex \alpha $ wiedząc, że trójkąt jest trójkątem prostokątnym i odcinek $latex AP$ jest dwusieczną kąta.

Przykład 5

Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o $latex 50{}^\circ $. Oblicz kąty tego trójkąta.

Przykład 6

Wyznacz miary kątów $latex \alpha ,~\beta $ i $latex \gamma $.

Twierdzenie

Dwa kąty są przyległe, jeśli mają wspólne ramię, a ich pozostałe ramiona dopełniają się do prostej.

Przykład 7

a) Wyznacz miary kątów przyległych, jeśli ich stosunek jest równy $latex 2:3$.
b) Wyznacz miary kątów przyległych, jeśli jeden z nich jest o $latex 45{}^\circ $ większy od drugiego.

Przykład 8

Udowodnij, ze dwusieczne kątów przyległych przecinają się pod kątem prostym.

Twierdzenie

Kąt zewnętrzny trójkąta to kąt przyległy do kąta wewnętrznego tego trójkąta.

Przykład 9

Wyznacz miary kątów zewnętrznych trójkąta, jeśli miary jego kątów wewnętrznych są w stosunku $latex 1:3:5$.

Przykład 10

Na podstawie rysunku udowodnij, że $latex \alpha +\beta =\gamma $

Przykład 11

Udowodnij, że „suma miar kątów zewnętrznych w trójkącie jest równa $latex 720{}^\circ .”$