Suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego [CAŁOŚCIOWE OMÓWIENIE]
Twierdzenie 1
Suma $latex n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$ o ilorazie $latex q\ne 1$ wyraża się wzorem:
$latex {{S}_{n}}={{a}_{1}}\cdot \frac{{1-{{q}^{n}}}}{{1-q}}$
UWAGA
Jeśli $latex q=1$, to $latex {{S}_{n}}={{a}_{1}}\cdot n$
Przykład 1
Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:
b) $latex 1,~2,~4,~\ldots $
c) $latex 1,~-3,~9,~-27,~\ldots $
d) $latex 32,~-16,~8,~-4,\ldots $
e) $latex \frac{3}{2},1,\frac{2}{3},\ldots $
Przykład 2
a) Oblicz sumę $latex {{S}_{6}}$ ciągu geometrycznego $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$, w którym $latex {{a}_{1}}=2,~q=-3$.
b) Oblicz sumę $latex {{S}_{7}}$ ciągu geometrycznego, w którym $latex {{a}_{1}}=-6~$oraz $latex q=2$.
c) Oblicz sumę $latex {{S}_{{10}}}$ ciągu geometrycznego, w którym $latex {{a}_{1}}=5,~q=-2$
Przykład 3
Drugi wyraz ciągu geometrycznego równa się $latex 15$, a siódmy wynosi $latex 3645$. Znajdź sumę dziewięciu wyrazów tego ciągu.
Przykład 4
Drugi wyraz malejącego ciągu geometrycznego jest równy $latex 40$, a piąty wynosi $latex 5$. Oblicz:
a) Pierwszy wyraz tego ciągu.
b) Iloraz tego ciągu.
c) Sumę ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu.
Przykład 5
a) Dany jest ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie równym $latex 4$ i ilorazie $latex 3$. Ile początkowych wyrazów tego ciągu należy zsumować, aby otrzymać $latex 13120$?
b) Dany jest ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie równym $latex 10$ i ilorazie $latex q=\frac{1}{2}$. Ile początkowych wyrazów tego ciągu należy zsumować, aby otrzymać $latex \frac{{315}}{{16}}$?
Przykład 6
W skończonym ciągu geometrycznym pierwszy wyraz jest równy $latex 2$, a ostatni $latex 1458$. Wiedząc, że suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa $latex 2186$ wyznacz:
a) Iloraz tego ciągu.
b) Liczbę wyrazów tego ciągu.
Przykład 7
a) Ciąg geometryczny $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$ jest określony wzorem $latex {{a}_{n}}={{2}^{k}}$ dla $latex n\ge 1$. Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu.
b) W ciągu geometrycznym $latex \left( {{{a}_{n}}} \right)$ dane są $latex {{a}_{1}}=3~$i $latex {{a}_{4}}=24$. Oblicz sumę ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu.