Sumy algebraiczne [CAŁOŚCIOWE OMÓWIENIE]
Definicja 1
Jednomianem nazywamy wyrażenie, które jest:
• liczbą,
• zmienną,
• iloczynem liczb i zmiennych.
Przykłady jednomianów:
$latex 2,~x,~3{{x}^{2}},2xy,\sqrt{3}xy{{z}^{3}}$
Liczbę występującą w jednomianie nazywamy współczynnikiem jednomianu.
Przykład 1
Podaj współczynnik jednomianów:
$latex x,~3{{x}^{2}},~6x{{y}^{2}},7xy,~\sqrt{2}{{x}^{2}}{{y}^{2}}{{z}^{2}}$
Przykład 2
Które z wyrażeń nie są jednomianami?
$latex 3-x,~6x,~2x-4y,~{{a}^{2}}-{{b}^{2}},\sqrt{{xy}},\sqrt{2}{{x}^{3}}$
Przykład 3
Zapisz wyrażenia algebraiczne opisujące pola wielokątów:
a) Równoległobok
b) Trójkąt
c) Trapez
Przykład 4
Podaj jednomian opisujący:
a) Objętość sześcianu o krawędzi $latex a$.
b) Pole powierzchni całkowitej sześcianu o krawędzi $latex a$.
c) Objętość prostopadłościanu o krawędziach długości $latex a,~b,~c.$
d) Objętość walca o promieniu podstawy $latex r$ i wysokości $latex h$.
e) Objętość stożka o promieniu podstawy $latex r$ i wysokości $latex h$.
UWAGA
Jednomiany zapisujemy w sposób uporządkowany według następujących zasad:
• Na początku zapisujemy liczbę.
• Iloczyn tych samych zmiennych zastępujemy ich potęgą.
• Zmienne zapisujemy w kolejności alfabetycznej.
Np. $latex 3\cdot x\cdot x\cdot x\cdot y=3{{x}^{3}}y$
$latex -5x\cdot x\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y=-5{{x}^{2}}{{y}^{4}}$
Przykład 5
Pomnóż jednomiany, a następnie wynik podaj w postaci uporządkowanej:
$latex 3x\cdot \left( {6{{x}^{2}}} \right)\cdot \left( {2{{x}^{3}}} \right)$
$latex \left( {3x{{y}^{3}}} \right)\cdot \left( {2xy} \right)$
$latex \left( {-5x{{y}^{2}}} \right)\cdot \left( {-\frac{1}{5}xy} \right)$
$latex -4x\cdot \left( {2ax} \right)\cdot \frac{1}{7}x$
Definicja 2
• Sumę jednomianów nazywamy sumą algebraiczną.
• Składniki tej sumy nazywamy wyrazami sumy algebraicznej.
• Wyrazy sumy, które różnią się co najwyżej współczynnikiem liczbowym są wyrazami podobnymi.
Przykład 6
W podanej sumie wskaż wyrazy podobne:
a) $latex 4{{\text{x}}^{2}}+6{{\text{x}}^{2}}+5{{\text{z}}^{3}}+6{{\text{z}}^{3}}$
b) $latex 2\text{xy}+3{{\text{x}}^{{2\text{y}}}}+4\text{xy}+7$
c) $latex 2{{\text{x}}^{3}}+5{{\text{x}}^{2}}+3\text{x}+\frac{1}{3}{{\text{x}}^{2}}+2\text{x}$
d) $latex -3\text{x}{{\text{y}}^{2}}+4{{\text{x}}^{2}}{{\text{y}}^{2}}+2\text{x}{{\text{y}}^{2}}-2{{\text{x}}^{2}}{{\text{y}}^{2}}+\text{x}{{\text{y}}^{2}}$
UWAGA
Wyrazy podobne można dodawać, odejmować. Redukcją wyrazów podobnych nazywamy dodawanie (odejmowanie) wyrazów podobnych.
Przykład 7
Zredukuj wyrazy podobne:
a) $latex 4{{\text{x}}^{2}}+6{{\text{x}}^{2}}+5{{\text{z}}^{3}}+6{{\text{z}}^{3}}$
b) $latex 2\text{xy}+3{{\text{x}}^{{2\text{y}}}}+4\text{xy}+7$
c) $latex 2{{\text{x}}^{3}}+5{{\text{x}}^{2}}+3\text{x}+\frac{1}{3}{{\text{x}}^{2}}+2\text{x}$
d) $latex -3\text{x}{{\text{y}}^{2}}+4{{\text{x}}^{2}}{{\text{y}}^{2}}+2\text{x}{{\text{y}}^{2}}-2{{\text{x}}^{2}}{{\text{y}}^{2}}+\text{x}{{\text{y}}^{2}}$
e) $latex 2{{\text{x}}^{2}}-3{{\text{x}}^{3}}+5{{\text{x}}^{2}}-7\text{x}+3{{\text{x}}^{3}}-6\text{x }\!\!~\!\!\text{ }$
f) $latex -0,1{{\text{x}}^{2}}+3\text{x}-0,9{{\text{x}}^{2}}+\text{x}+3{{\text{x}}^{2}}$
UWAGA
Aby uporządkować sumę algebraiczną, której wyrazami są jednomiany z jedną zmienną, można zapisać wyrazy kolejno od jednomianu najwyższego stopnia do jednomianu najniższego stopnia lub odwrotnie.
Przykład 8
Uporządkuj sumę algebraiczną:
a) $latex -2{{\text{x}}^{2}}+5{{\text{x}}^{3}}+6-2{{\text{x}}^{5}}$
b) $latex {{\text{x}}^{2}}+\text{x}-{{\text{x}}^{4}}+{{\text{x}}^{3}}+1$
c) $latex 2{{\text{x}}^{4}}-{{\text{x}}^{2}}+{{\text{x}}^{3}}+\frac{3}{2}{{\text{x}}^{5}}$
d) $latex 4{{\text{x}}^{5}}+5+7\text{x}+2{{\text{x}}^{7}}$
Przykład 9
Oblicz wartość sumy algebraicznej dla $latex x=-2,~x=0.$
a) $latex {{\text{x}}^{3}}-{{\text{x}}^{2}}+\text{x}-\text{x}$
b) $latex -2{{\text{x}}^{3}}+{{\text{x}}^{2}}-\text{x}+4$
c) $latex -{{\text{x}}^{5}}+3{{\text{x}}^{3}}-{{\text{x}}^{2}}+1$
Przykład 10
Oblicz wartość współczynnika $latex a$, jeśli wartość sumy algebraicznej:
a) $latex {{\text{x}}^{2}}+\text{ax}+1$ dla $latex \text{x}=-1$
jest równa $latex 4$
b) $latex 2{{\text{x}}^{3}}+\text{a}{{\text{x}}^{2}}+5$ dla $latex \text{x}=-2$
jest równa $latex 20$.
Przykład 11
Ile wynoszą współczynniki $latex a,~b$, jeśli suma algebraiczna:$latex 2{{x}^{2}}+ax+b$ przyjmuje wartość $latex 4$ dla $latex x=1$ oraz wartość $latex -2$ dla $latex x=-2$