'

Trójkąty podobne

Wstęp

Trójkąt $A_{1}B_{1}C_{1}$ jest podobny do trójkąta $\text{ABC}$ wtedy, gdy $\frac{|A_{1}B_{1}|}{|AB|} = \frac{|B_{1}C_{1}|}{|BC|} = \frac{|A_{1}C_{1}|}{|AC|}$ oraz $\left| \sphericalangle A_{1} \right| = \left| \sphericalangle A \right|$, $ \left| \sphericalangle B_{1} \right| = \left| \sphericalangle B \right|$ i $\left| \sphericalangle C_{1} \right| = \left| \sphericalangle C \right|$

Podobieństwo trójkątów

Liczbę $k = \frac{|A_{1}B_{1}|}{|AB|} = \frac{|B_{1}C_{1}|}{|BC|} = \frac{|A_{1}C_{1}|}{|AC|}$, nazywamy skalą podobieństwa trójkąta $A_{1}B_{1}C_{1}$ do trójkąta $\text{ABC}$.

Cechy podobieństwa trójkątów

Cecha bok-bok-bok (BBB)

Jeśli trzy boki jednego trójkąta są odpowiednio proporcjonalne do trzech boków drugiego trójkąta, to trójkąty te są podobne.

Cecha kąt-kąt-kąt (KKK)

Jeśli kąty jednego trójkąta są równe kątom drugiego trójkąta, to trójkąty te są podobne.

Cecha bok-kąt-bok (BKB)

Jeśli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta i kąty zawarte między tymi bokami są równe, to trójkąty te są podobne.

Przykład 1

Czy dane trójkąty są podobne?

a) $\mathrm{\Delta}ABO\ $i $\mathrm{\Delta}DCO$

b) $\mathrm{\Delta}ABC$ i $\mathrm{\Delta}DEF$

c) $\mathrm{\Delta}ABC$ i $\mathrm{\Delta}BCD$

d) $\mathrm{\Delta}ADC$ i $\mathrm{\Delta}DBC$

e) $\mathrm{\Delta}ABC$ i $\mathrm{\Delta}DEF$

Przykład 2

Dane są trójkąty $\text{ABC}$ i $A_{1}B_{1}C_{1}$. Ustal, czy te trójkąty są podobne, jeśli:

a) $\left| \text{AB} \right| = 4,\ \left| \text{BC} \right| = 6,\ \left| \text{AC} \right| = 8,\left| A_{1}B_{1} \right| = 5, $ $\left| B_{1}C_{1} \right| = 7,\ \left| A_{1}C_{1} \right| = 9$

b) $\left| \text{AB} \right| = 8,\ \left| \text{BC} \right| = 12,\ \left| \text{AC} \right| = 16,\left| A_{1}B_{1} \right| = 10, $ $\left| B_{1}C_{1} \right| = 15,\ \left| A_{1}C_{1} \right| = 20$

c) $\left| \sphericalangle A \right| = 50{^\circ},\ \left| \sphericalangle B \right| = 60{^\circ},\left| \sphericalangle A_{1} \right| = 60{^\circ},$ $\left| \sphericalangle B_{1} \right| = 70{^\circ}$

Przykład 3

Udowodnij, że trójkąt $\mathrm{\Delta}$ABS jest podobny do trójkąta :

a) $\mathrm{\Delta}$DCS

b) $\mathrm{\Delta}$BDC

c) $\mathrm{\Delta}$BCD

d) $\mathrm{\Delta}$ABC

Przykład 4

Trójkąty $\text{ABC}$ i $\text{PQR}$ są podobne oraz $\left| \text{AB} \right| = 24$ cm, $\left| \text{BC} \right| = 30$ cm, $\left| \text{AC} \right| = 18$ cm. Oblicz długości boków trójkąta $\text{PQR}$, jeśli:

a) najkrótszy bok trójkąta $\text{PQR}$ ma długość $12$ cm

b) najdłuższy bok trójkąta $\text{PQR}$ ma długość $12$ cm

c) obwód trójkąta $\text{PQR}$ jest równy $288$ cm

Przykład 5

Udowodnij, że trójkąt prostokątny o długościach przyprostokątnych równych 3 i 4 jest podobny do trójkąta prostokątnego, w którym jedna z przyprostokątnych ma długość $6,$ a przeciwprostokątna ma długość $10$. Oblicz skalę podobieństwa.

Przykład 6

Trójkąty $\text{ABC}$ i $\text{PQR}$ są podobne oraz $\left| \sphericalangle A \right| = |\sphericalangle P|$ i $\left| \sphericalangle B \right| = |\sphericalangle Q|$. Oblicz skalę podobieństwa trójkąta ABC do trójkąta PQR oraz długości pozostałych boków, jeśli:

a) $\left| \text{AC} \right| = 7,\ \left| \text{AB} \right| = 4,\ \left| \text{QR} \right| = 20,\ \left| \text{PQ} \right| = 10$

b) $\left| \text{BC} \right| = 1,\ \left| \text{AC} \right| = \frac{3}{4},\ \left| \text{PR} \right| = 4,\ \left| \text{PQ} \right| = 3$

Przykład 7

Wykaż, że trójkąt ABC jest podobny do trójkąta wskazanego poniżej i podaj skalę tego podobieństwa:

a) $\mathrm{\Delta}$DEC

b) $\mathrm{\Delta}$DEC

c) $\mathrm{\Delta}$DEF

d) $\mathrm{\Delta}$BDC

Przykład 8

Trójkąty na rysunku obok są podobne. Oblicz długości boków $x,y\ $tych trójkątów.

Przykład 9

a) W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długość $\left| \text{CA} \right| = 10\ $cm, $\left| \text{CB} \right| = 60$cm. Trójkąt A’B’C’ jest podobny do trójkąta ABC, a $\left| A^{‘}B^{‘} \right| = 244$ cm. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta $A^{‘}B^{‘}C’$.

b) Obwód trójkąta ABC jest równy $18$ cm. Trójkąt A’B’C’ jest podobny do trójkąta ABC w skali $k = 4$, a dwa jego boki mają długość $\left| A^{‘}B^{‘} \right| = 20$ cm, $\left| A^{‘}C^{‘} \right| = 24$ cm. Oblicz długości boków trójkąta ABC.

Przykład 10

Oblicz obwód trójkąta ABC, jeśli $AC||DE$.

Przykład 11

W trójkącie ABC połączono środki boków i otrzymano trójkąt PQR. Wykaż, że trójkąt PQR jest podobny do trójkąta ABC i podaj skalę tego podobieństwa.