'

Trójkąty przystające

Wstęp

Dwa wielokąty są przystające, jeśli ich odpowiednie boki i odpowiednie kąty są równe.

Cecha BBB – jeśli trzy boki jednego trójkąta są odpowiednio równe trzem bokom drugiego trójkąta, to trójkąty te są przystające.

Cecha BKB – jeśli dwa boki i kąt zawarty między nimi w jednym trójkącie są odpowiednio równe dwóm bokom i kątowi zawartemu między nimi w drugim trójkącie, to trójkąty te są przystające.

Cecha KBK – jeśli bok i dwa leżące przy nim kąty w jednym trójkącie są odpowiednio równe bokowi i dwóm leżącym przy nim kątom w drugim trójkącie, to trójkąty te są przystające.

Przykład 1

Czy dane dwa trójkąty są przystające?

Przykład 2

Na podstawie odpowiedniej cechy przystawania, wykaż, że w dowolnym równoległoboku przekątne przecinają się w połowie.

Przykład 3

a) Udowodnij, że dowolny punkt symetralnej odcinka jest równo oddalony od końców tego odcinka.
b) Udowodnij, że symetralne boków dowolnego trójkąta przecinają się w jednym punkcie.
c) Udowodnij, że dowolny punkt dwusiecznej kąta jest równo oddalony od ramion tego kąta.
d) Udowodnij, że dwusieczne kątów dowolnego trójkąta przecinają się w jednym punkcie.

Przykład 4

Trójkąty prostokątne równoramienne $latex ABC$ i $latex CDE$ są położone tak, jak na poniższym rysunku (w obu trójkątach kąt przy wierzchołku $latex C$ jest prosty). Wykaż, że $latex \left| {AD} \right|=\left| {BE} \right|$.

Przykład 5

Trójkąt $latex ABC$ przedstawiony na poniższym rysunku jest równoboczny, a punkty $latex B,~C,~N$ są współliniowe. Na boku $latex AC$ wybrano punkt $latex M$ tak, że $latex \left| {AM} \right|=\left| {CN} \right|$. Wykaż, że $latex \left| {BM} \right|=\left| {MN} \right|$.

Przykład 6

Na bokach trójkąta równobocznego $latex ABC$ (na zewnątrz tego trójkąta) zbudowano kwadraty $latex ABDE,~CBGH$ i $latex ACKL$. Udowodnij, że trójkąt $latex KGE$ jest równoboczny.

Przykład 7

Dany jest prostokąt $latex ABCD$. Na boku $latex CD$ tego prostokąta wybrano taki punkt $latex E$, że $latex \left| {EC} \right|=2\left| {DE} \right|$, a na boku $latex AB~$wybrano taki punkt $latex F$, że $latex \left| {BF} \right|=\left| {DE} \right|$. Niech $latex P$ oznacza punkt przecięcia prostej $latex EF$ z prostą $latex BC$ (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty $latex AED$ i $latex FPB~$są przystające.

Przykład 8

W równoległoboku $latex ABCD$ punkt $latex E$ jest środkiem boku $latex BC$. Z wierzchołka $latex D$ poprowadzono prostą przecinającą bok $latex BC~$w punkcie $latex E$. Proste $latex AB$ i $latex DE$ przecinają się w punkcie $latex F$ (zobacz rysunek). Wykaż, że punkt $latex B$ jest środkiem odcinka $latex AF$.

Przykład 9

Trójkąt $latex ABC$ jest równoboczny. Na bokach $latex AB,~BC$ i $latex AC$ zaznaczono odpowiednio punkty $latex D,~E,~F$ tak, że $latex \left| {AD} \right|=\left| {BE} \right|=\left| {FC} \right|=\frac{1}{4}\left| {AB} \right|$. Udowodnij, że trójkąt $latex DEF~$jest równoboczny.

Przykład 10

W prostokącie $latex ABCD$ punkt $latex P$ jest środkiem boku $latex AB.$ Uzasadnij, że trójkąty $latex APD$ i $latex BPC$ są przystające.

Przykład 11

Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny $latex ABC$ o kącie prostym przy wierzchołku $latex C.$ Środkowe $latex AP$ i $latex BQ$ tego trójkąta przecinają się w punkcie $latex O$. Uzasadnij, że trójkąty $latex AOQ$ i $latex BOP$ są przystające.

Przykład 12

W trójkącie równobocznym $latex ABC$ (patrz rysunek) na bokach $latex AB~$i $latex BC$ wybrano odpowiednio punkty $latex P$ i $latex Q$ tak, że $latex \left| {AP} \right|=2\left| {BP} \right|$ i $latex \left| {CQ} \right|=2\left| {BQ} \right|$. Odcinki $latex AQ$ i $latex CP$ przecinają się w punkcie $latex S$. Uzasadnij, że trójkąty $latex APS$ i $latex CQS$ są przystające.

Przykład 13

W czworokącie wypukłym $latex ABCD$ dwie pary boków są równe: $latex \left| {AB} \right|=\left| {BC} \right|$ oraz $latex \left| {CD} \right|=\left| {DA} \right|$. Przekątne $latex AC$ i $latex BD$ tego czworokąta przecinają się w punkcie $latex O$. Uzasadnij, że trójkąt $latex AOB$ jest przystający do trójkąta $latex COB$ oraz trójkąt $latex AOD$ jest przystający do trójkąta $latex COD$.

Przykład 14

Kula bilardowa odbija się od bandy stołu bilardowego pod takim samym kątem, pod jakim w nią uderzyła (patrz rysunek). Kula przebyła drogę z $latex P$ do $latex S$ i z $latex S$ do $latex Q$, gdzie $latex S$ jest środkiem bandy $latex AB.$ Uzasadnij, że $latex \left| {PC} \right|=\left| {QD} \right|$.

Przykład 15

Uzasadnij, że jeśli wysokość trójkąta zawiera się w dwusiecznej kąta tego trójkąta, to trójkąt ten jest równoramienny.

Przykład 16

W czworokącie $latex ABCD$ (patrz rysunek) kąty $latex EFB$ i $latex FEB$ są równe oraz $latex \left| {AE} \right|=\left| {CF} \right|$.
Uzasadnij, że
a) trójkąty $latex BAF$ i $latex BCE$ są przystające,
b) czworokąt $latex DEBF~$ma dwie pary boków równych.

Przykład 17

Dany jest trójkąt $latex ABC$. Punkt $latex S$ jest środkiem boku $latex AB$ tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że odległości punktów $latex A$ i $latex B$ od prostej $latex CS$ są równe.

Przykład 18

Na bokach $latex BC$ i $latex CD$ równoległoboku $latex ABCD$ zbudowano kwadraty $latex CDEF$ i $latex BCGH$ (zobacz rysunek). Udowodnij, że $latex \left| {AC} \right|=\left| {FG} \right|$.

Przykład 19

Dany jest czworokąt wypukły $latex ABCD,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$w którym: $latex \left| {AB} \right|=\left| {BC} \right|,~\left| {\sphericalangle DAB} \right|=45{}^\circ ,\left| {\sphericalangle ABC} \right|=150,$ $latex \left| {\sphericalangle BCD} \right|=60{}^\circ $. Wykaż, że trójkąt $latex BCD$ jest równoboczny.