Twierdzenie cosinusów cz. 1 [ROZSZERZENIE]
Wstęp
W dowolnym trójkącie kwadrat długości jednego boku jest równy sumie kwadratów długości dwóch pozostałych boków, zmniejszonej
o podwojony iloczyn długości tych boków i cosinusa kąta zawartego między nimi.
a) $latex {{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc\cdot cos\alpha $
b) $latex {{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{c}^{2}}-2ac\cdot cos\beta $
c) $latex {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2bc\cdot cos\gamma $
Przykład 1
Sprawdź, który z trójkątów o podanych długościach boków jest ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny, jeśli boki trójkąta mają długość:
a) $latex 12,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }10,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }7$
b) $latex 2\sqrt{6},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }3\sqrt{{14}},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }5\sqrt{6}$
c) $latex 10,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }7,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }7$
Przykład 2
Oblicz cosinusy kątów trójkąta o bokach długości: $latex 9$ cm, $latex 7$ cm, $latex 5$ cm.
Przykład 3
Oblicz długości przekątnych równoległoboku, którego boki mają długość $latex 6$ cm i $latex 10$ cm, a kąt rozwarty ma miarę $latex 120{}^\circ $.
Przykład 4
W trójkącie $latex ABC$ dwa boki mają długość $latex 2$ cm i $latex 4$ cm, a tangens kąta między tymi bokami jest równy $latex \sqrt{{15}}.$
Oblicz długość trzeciego boku tego trójkąta. Rozważ dwa przypadki.
Przykład 5
W trójkącie $latex ABC$ mamy dane: $latex \left| {AB} \right|=2\sqrt{7}$ cm i $latex \left| {BC} \right|=5$ cm oraz $latex \text{sin}|\sphericalangle ABC=\frac{{3\sqrt{2}}}{5}.$
Oblicz obwód tego trójkąta oraz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
Przykład 6
Długości boków trójkąta $latex ABC$ są równe $latex \left| {AB} \right|=2\sqrt{7}$ cm, $latex \left| {AC} \right|=6$ cm oraz $latex \left| {BC} \right|=2$ cm. Oblicz miarę kąta przy wierzchołku $latex C$.
Przykład 7
Boki trójkąta $latex ABC$ są równe: $latex \left| {AB} \right|=2\sqrt{6}-\sqrt{3}$, $latex \left| {BC} \right|=5\sqrt{3}$ oraz $latex \left| {AC} \right|=2\sqrt{6}+\sqrt{3}$.
Oblicz miarę kąta $latex \sphericalangle BAC$.
Przykład 8
Oblicz długość środkowej $latex CD$ trójkąta $latex ABC$, jeśli $latex \left| {AB} \right|=10$ cm, $latex \left| {AC} \right|=6$ cm, $latex \left| {BC} \right|=5$ cm.