'

Twierdzenie cosinusów cz. 2

Wstęp

Przykład 1

W trójkącie $latex ABC$ bok $latex AC$ jest o $latex 6$ cm dłuższy od boku $latex AB$ oraz $latex \left| {BC} \right|=10$ cm.
Wiedząc, że $latex \left| {\sphericalangle ABC} \right|=120{}^\circ $, oblicz obwód tego trójkąta.

Przykład 2

W trójkącie $latex ABC$ bok $latex AB$ jest o $latex 5$ cm krótszy od boku $latex AC$ i $latex \left| {BC} \right|=4\sqrt{2}$ cm.
Oblicz długość średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie, jeśli $latex \left| {\sphericalangle \text{ABC}} \right|=135{}^\circ $.

Przykład 3

Oblicz obwód trójkąta $latex ABC$ jeśli $latex \left| {BC} \right|=21$ cm, $latex \left| {\sphericalangle BAC} \right|=60{}^\circ $ oraz $latex \frac{{\left| {AC} \right|}}{{\left| {AB} \right|}}=\frac{3}{8}$.

Przykład 4

Boki trójkąta $latex ABC$ mają długości: $latex \left| {AB} \right|=4$ cm, $latex \left| {BC} \right|=\sqrt{3}$ cm, $latex \left| {AC} \right|=3$ cm.
Oblicz:
a) $latex \text{cos}\left( {\sphericalangle BAC} \right)$,
b) długość środkowej $latex CD$.

Przykład 5

W trójkącie równoramiennym $latex ABC$ podstawa $latex AB$ ma długość $latex 8$ cm, a kąt $latex \left| {\sphericalangle ACB} \right|=120{}^\circ $.
Oblicz długość środkowej $latex AD$ tego trójkąta.

Przykład 6

W trójkącie prostokątnym równoramiennym $latex ABC$, $latex \left| {AC} \right|=\left| {AB} \right|$, poprowadzono środkowe $latex CD$ i $latex BE$, które przecięły się w punkcie $latex M$. Wykaż, że $latex \cos \left( {\sphericalangle DMB} \right)=\frac{4}{5}$.

Przykład 7

W trójkącie boki mają długość $latex a,~b,~c$, natomiast miary kątów są odpowiednio równe $latex \alpha ,~\beta ,~\gamma $.
Wykaż, że jeśli $latex a\cdot \cos \beta =b\cdot \cos \alpha $, to trójkąt ten jest równoramienny.

Przykład 8

Na boku $latex BC$ trójkąta równobocznego $latex ABC$ wybrano punkt $latex M$ taki, że $latex \left| {BM} \right|=\frac{1}{3}\left| {MC} \right|$.
Wykaż, że sinus kąta $latex CAM$ jest równy $latex \frac{{3\sqrt{{39}}}}{{26}}.$