'

Twierdzenie Pitagorasa. Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości przyprostokątnych.

Przykład 1

Oblicz długości nieznanych odcinków na rysunku obok.

Przykład 2

Punkt $P$ leży na symetralnej odcinka $\text{AB}$, w odległości $12$ cm od odcinka $\text{AB}$ i $60$ cm od końców tego odcinka, oblicz długość odcinka $\text{AB}$.

Przykład 3

Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość $6$, a ramię ma długość $5$. Oblicz długość wysokości opuszczonej na podstawę.

Przykład 4

Oblicz długości boków trójkąta prostokątnego $\text{ABC}$

Przykład 5

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego pozostają w stosunku $3:4$. Oblicz długości boków tego trójkąta, jeżeli jego obwód jest równy $84$ cm.

Przykład 6

W trójkącie prostokątnym $\text{ABC}$ przeciwprostokątna ma długość $12$ cm. Długości przyprostokątnych pozostają w stosunku $3:4$. Oblicz obwód tego trójkąta.

Przykład 7

Wyznacz wzór na długość przekątnej kwadratu o boku długości $a$.

Przykład 8

Punkt $A$ należy do dwusiecznej kąta prostego i leży w odległości $5$ cm od obu ramion tego kąta. Jaka jest odległość tego punktu od wierzchołka kąta?

Przykład 9

Oblicz długość cięciwy okręgu o promieniu $7$ cm, która leży w odległości $2$ cm od środka tego okręgu.

Przykład 10

Oblicz długość promienia okręgu:

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Jeśli długości boków $a,\ b,\ c$ trójkąta spełniają zależność $a^{2}+b^{2} = c^{2},$to trójkąt jest prostokątny, przy czym boki długości $a$ i $b$ są przyprostokątnymi tego trójkąta, a bok długości $c$ — przeciwprostokątną tego trójkąta.

Przykład 11

Sprawdź czy trójkąt o podanych bokach jest prostokątny

a) $2,5;\ 6;\ 6,5$

b) $3\sqrt{2},\ \sqrt{15},\ \sqrt{5}$

c) $\sqrt{3}+1,\ \sqrt{3}-1,\ 2\sqrt{2}$

Przykład 12

Wyznacz liczbę $k$, dla której podane liczby są długościami boków trójkąta prostokątnego

a) $\frac{1}{2}k,\ 6,\ 10$

b) $4,\frac{9}{2}k,\ 5$

Przykład 13

W prostokącie $\text{ABCD}$ bok $\text{AB~}$ma długość $10$ cm, a bok $\text{BC}$ ma $4$ cm. Na boku $\text{DC~}$obrano punkt $E$ tak, że $\left| \text{DE} \right|:\left| \text{EC} \right| = 1:4$. Czy trójkąt $\text{ABE}$ jest prostokątny? Odpowiedź uzasadnij.

Przykład 14

$2n+1,\ \ 2n\left( n+1 \right),\ \ 2n\left( n+1 \right)+1$ gdzie $n \in \mathbb{N}_{+}$, są długościami boków trójkąta prostokątnego.

Twierdzenie

Jeśli długości boków trójkąta oznaczymy literami $a,\ b,\ c$ w taki sposób, że $a \leq b \leq c$ oraz: $a^{2}+b^{2} < c^{2},$ to trójkąt jest rozwartokątny; $a^{2}+b^{2} > c^{2},$ to trójkąt jest ostrokątny.

Przykład 15

Sprawdź, czy trójkąt o podanych długościach boków jest ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny.

a) $\frac{5}{2},\ \ 6,\ \ \frac{13}{2}$

b) $\sqrt{2},\ \ 3,\ \ 4$

c) $7,\ \ 6,\ \ 5$

d) $\sqrt{6}+1,\ \ \sqrt{6}-1,\ \ 2\sqrt{5}$

Przykład 16

Sprawdź, czy dany trójkąt jest prostokątny, ostrokątny czy rozwartokątny, jeżeli długości jego boków pozostają w stosunku

a) $3:4:5$

b) $4:5:7$

c) $\sqrt{2}:\sqrt{3}:\sqrt{5}$

a) $5:6:8$