'

Twierdzenie sinusów cz. 1

Twierdzenie

W dowolnym trójkącie stosunek długości boku do sinusa kąta leżącego naprzeciwko tego boku jest stały i równy długości średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie.
$latex \frac{a}{{sin\alpha }}=\frac{b}{{sin\beta }}=\frac{c}{{sin\gamma }}=2R\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$

Przykład 1

W trójkącie $latex ABC$ bok $latex AB$ ma długość $latex 6$ cm, a kąt $latex ACB$ ma miarę $latex 120{}^\circ $. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Przykład 2

W trójkącie $latex ABC$ dane są miary kątów przy boku $latex BC$: $latex 17{}^\circ $ i $latex 13{}^\circ $. Oblicz długość boku $latex BC$, wiedząc, że promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy $latex 10$ cm.

Przykład 3

Oblicz długość boku $latex AB$ trójkąta $latex ABC$, jeśli $latex \left| {BC} \right|=8$ cm, $latex \left| {\sphericalangle BAC} \right|=52{}^\circ $ oraz $latex \left| {\sphericalangle ACB} \right|=66{}^\circ $. Wynik podaj z dokładnością do jednego miejsca po przecinku.

Przykład 4

Wiedząc, że $latex \sin \alpha =\frac{2}{5}$, $latex \cos \beta =\frac{4}{5}$ i $latex \left| {BC} \right|=7$ cm wyznacz długość boku $latex AC$.

Przykład 5

W trójkącie $latex ABC:\left| {AB} \right|=14$ cm, $latex \left| {BC} \right|=8$ cm, a cosinus kąta zawartego między tymi bokami wynosi $latex \frac{{29}}{{56}}$. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy $latex \frac{{112}}{{\sqrt{{225}}}}$. Oblicz sumę sinusów kątów w tym trójkącie.

Przykład 6

W trójkącie $latex ABC$ mamy podane długości dwóch boków $latex \left| {AB} \right|=\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$, $latex \left| {BC} \right|=8$ oraz $latex \left| {\sphericalangle \text{CAB}} \right|=60{}^\circ $. Oblicz miary pozostałych kątów tego trójkąta.

Przykład 7

W trójkącie ostrokątnym $latex ABC$ tangens kąta przy wierzchołku $latex A$ jest równy $latex \frac{{3\sqrt{7}}}{7}$, a bok który leży naprzeciwko tego kąta ma długość $latex 14$ cm. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.