'

Twierdzenie sinusów cz. 2

Przykład 1

W trójkącie $latex ABC$ dane są $latex \left| {\sphericalangle BAC} \right|=30{}^\circ $, $latex \left| {BC} \right|=2\sqrt{3}$ i $latex \left| {AC} \right|=6$. Oblicz długość boku $latex AB$ oraz pozostałe kąty tego trójkąta.

Przykład 2

Udowodnij, że jeśli $latex \alpha ,~\beta $ i $latex \gamma $ są kątami trójkąta, to zachodzi nierówność:
$latex \sin \alpha +\sin \beta >\sin \gamma $

Przykład 3

Dane są dwa trójkąty $latex ABC$. oraz $latex {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}$ takie, że $latex \alpha ={{\alpha }_{1}}$ oraz $latex \beta +{{\beta }_{1}}=180{}^\circ $.
Wykaż, że $latex \frac{{\left| {AC} \right|}}{{\left| {BC} \right|}}=\frac{{\left| {{{A}_{1}}{{C}_{1}}} \right|}}{{\left| {{{B}_{1}}{{C}_{1}}} \right|}}$.

Przykład 4

Wykaż, że jeżeli w trójkącie $latex ABC$ prawdziwa jest równość $latex \frac{{\left| {BC} \right|}}{{\left| {AC} \right|}}=\sqrt{2}$, to $latex {{\cos }^{2}}\alpha =2{{\cos }^{2}}\beta -1$.

Przykład 5

Wykaż, że jeśli $latex \alpha ,~\beta $ są miarami dwóch kątów trójkąta, a $latex R$ jest promieniem okręgu opisanego na tym trójkącie, to obwód trójkąta jest równy $latex 2R\cdot [\sin \alpha +\sin \beta +\sin \left( {\alpha +\beta } \right)]$.

Przykład 6

Boki trójkąta mają długość $latex a,~b,~c$, natomiast miary kątów są odpowiednio równe $latex \alpha ,~\beta ,~\gamma $.
Wykaż, że jeśli $latex \frac{a}{c}\cdot \sin \alpha +\frac{b}{c}\cdot \sin \beta =\sin \gamma $, to trójkąt ten jest prostokątny.