'

Twierdzenie Talesa

Twierdzenie Talesa

Jeśli ramiona kąta $latex AOA’$ lub ich przedłużenia przetniemy dwiema prostymi równoległymi $latex AA’$ i $latex BB’$, to stosunek długości odcinków wyciętych przez te proste na ramieniu $latex OA$ lub jego przedłużeniu jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków na ramieniu $latex OA’$ lub jego przedłużeniu.

$latex \frac{{\left| {OA} \right|}}{{\left| {AB} \right|}}=\frac{{\left| {O{A}’} \right|}}{{\left| {{A}'{B}’} \right|}}~$oraz $latex \frac{{\left| {OA} \right|}}{{\left| {OB} \right|}}=\frac{{\left| {O{A}’} \right|}}{{\left| {O{B}’} \right|}}$

Wniosek z twierdzenia Talesa:
$latex \frac{{\left| {A{A}’} \right|}}{{\left| {B{B}’} \right|}}=\frac{{\left| {OA} \right|}}{{\left| {OB} \right|}}=\frac{{\left| {OA’} \right|}}{{\left| {OB’} \right|}}$

Przykład 1

Odcinki $latex AB$ i $latex CD$ są równoległe i $latex \left| {AB} \right|=5$, $latex \left| {AC} \right|=2$, $latex \left| {CD} \right|=7$ (zobacz rysunek). Oblicz długość odcinka $latex AE$.

Przykład 2

Wiedząc, że proste $latex k$ i $latex l$ są równoległe, oblicz długość $latex x$.

Przykład 3

W trójkącie $latex EFG$ bok $latex EF$ ma długość $latex 21$. Prosta równoległa do boku $latex EF$ przecina boki $latex EG~$i $latex FG$ trójkąta odpowiednio w punktach $latex H$ oraz $latex J$ (zobacz rysunek) w taki sposób, że $latex \left| {HJ} \right|=7$ i $latex \left| {GJ} \right|=3$. Oblicz długość odcinka $latex FJ$.

Przykład 4

Odcinki $latex BC$ i $latex DE$ są równoległe i $latex \left| {AE} \right|=4$, $latex \left| {DE} \right|=3$. Punkt $latex D$ jest środkiem odcinka $latex AB$. Oblicz długość odcinka $latex BC$.

Przykład 5

W trójkącie $latex ABC$ punkt $latex D$ leży na boku $latex BC$, a punkt $latex E$ leży na boku $latex AB$. Odcinek $latex DE$ jest równoległy do boku $latex AC$, a ponadto $latex \left| {BD} \right|=10$, $latex \left| {BC} \right|=12$ i $latex \left| {AC} \right|=24$ (zobacz rysunek). Oblicz długość odcinka $latex DE$.

Przykład 6

W trójkącie $latex ABC$ punkt $latex D$ leży na boku $latex BC$, a punkt $latex E$ leży na boku $latex AC$. Odcinek $latex BE$ jest równoległy do boku $latex AB,$a ponadto
$latex \left| {AE} \right|=\left| {DE} \right|=4$, $latex \left| {AB} \right|=6$ (zobacz rysunek). Oblicz długość odcinka $latex CE$.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa

Jeżeli odcinki wyznaczone przez dwie proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków wyznaczonych przez te proste na drugim ramieniu kąta, to te proste są równoległe.

Przykład 7

Sprawdź, czy proste $latex k$ i $latex l$ są równoległe.

Przykład 8

W trapezie $latex ABCD,$ gdzie $latex AB||CD$ mamy podane: $latex \left| {AB} \right|=24$, $latex \left| {CD} \right|=14,~\left| {AD} \right|=16.$ O ile należy wydłużyć ramię $latex AD,$ tak aby przecięło się z przedłużeniem ramienia $latex BC$?

Przykład 9

W trapezie $latex ABCD$ przedłużono ramiona tak, że przecięły się w punkcie $latex E$. Wiedząc, że $latex \left| {AD} \right|=20$ cm, $latex \left| {BC} \right|=30$ cm, $latex \left| {DE} \right|=40$ cm, oblicz długość odcinka $latex \text{C}E.$

Przykład 10

W trapezie równoramiennym $latex ABCD$ przedłużono ramiona $latex AD$ i $latex BC$ do przecięcia się w punkcie $latex S$. Oblicz obwód trójkąta $latex ABS$, jeżeli $latex \left| {AB} \right|=8$ cm, $latex \left| {CD} \right|=5$ cm i $latex \left| {AD} \right|=3$ cm.