'

Układy równań

Wprowadzenie

Układem dwóch równań z dwiema niewiadomymi nazywamy dwa równania jednocześnie rozpatrywane, opisujące związek między tymi niewiadomymi.

Układ równań z dwiema niewiadomymi $latex x,~y$ nazywamy układem równań liniowych:

$latex \left\{ {\begin{matrix} {{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y={{c}_{1}}~gdzie~{{a}_{1}}\ne 0~lub~{{b}_{1}}\ne 0} \\ {{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y={{c}_{2}}~gdzie~{{a}_{1}}\ne 0~lub~{{b}_{1}}\ne 0} \end{matrix}} \right.$

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb, która spełnia jednocześnie oba równania.

Przykład 1

Sprawdź, czy para liczb $latex \left\{ {\begin{matrix} {x=3} \\ {y=1} \end{matrix}} \right.$ spełnia układ równań:
a) $latex \left\{ {\begin{matrix} {3x+y=10} \\ {2x+5y=-2} \end{matrix}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }} \right.$

b) $latex \left\{ {\begin{matrix} {4x+3y=15} \\ {5x+2y=17} \end{matrix}} \right.$

c) $latex \left\{ {\begin{matrix} {\frac{{\text{x}-3}}{2}-\frac{{2\text{x}+\text{y}}}{4}=\frac{{\text{x}-\text{y}}}{8}} \\ {x+y+12=0} \end{matrix}} \right.$

Przykład 2

Zapisz podane informacje w postaci układu równań:
a) Suma dwóch liczb jest równa $latex 80$. Jeśli jedną z nich zwiększymy o $latex 25\%$, a drugą zmniejszymy o $latex 20\%$, to suma zmniejszy się o $latex 15$.
b) Liczba $latex x$ jest o $latex 6$ większa od $latex y$. Liczba $latex \text{y}$ jest trzykrotnie mniejsza od liczby $latex x$.
c) Różnica podwojonej liczby $latex x$ i liczby $latex y$ jest równa $latex -6$. Liczba $latex y$ jest o $latex 2$ większa niż $latex x$.
d) Suma $latex 5\%$ pierwszej liczby i $latex 4\%$ drugiej liczby jest równa $latex 460$, a $latex 4\text{ }\!\!%\!\!\text{ }$ pierwszej liczby i $latex 5\text{ }\!\!%\!\!\text{ }$ drugiej daje w sumie $latex 440$. Oblicz te liczby.

Przykład 3

Do danego równania dopisz drugie, aby utworzony układ równań był spełniony przez podaną parę liczb.
a) $latex \left\{ {\begin{matrix} {3x-2y=5} \\ {\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots } \end{matrix}} \right.$ $latex \left\{ {\begin{matrix} {x=3} \\ {y=2} \end{matrix}} \right.$

b) $latex \left\{ {\begin{matrix} {x+6y=3} \\ {\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots } \end{matrix}} \right.$ $latex \left\{ {\begin{matrix} {x=-3} \\ {y=1} \end{matrix}} \right.$

Przykład 4

Rozwiąż układ równań metodą podstawiania:
a) $latex \left\{ {\begin{matrix} {-x+5y=6} \\ {x-3y=-4} \end{matrix}} \right.$
b) $latex \left\{ {\begin{matrix} {3x+y=10} \\ {6x+2y=20} \end{matrix}} \right.$
c) $latex \left\{ {\begin{matrix} {3x+y=3} \\ {9x+3y=15} \end{matrix}} \right.$

Przykład 5

Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników:
a) $latex \left\{ {\begin{matrix} {2x+y=2~~~~~} \\ {3x-2y=17} \end{matrix}} \right.$

b) $latex \left\{ {\begin{matrix} {-3x+2y=-7} \\ {5x+2y=1} \end{matrix}} \right.$

c) $latex \left\{ {\begin{matrix} {x-y=4x-3y+5} \\ {x+y=3x+5y-2} \end{matrix}} \right.$

Przykład 6

Dopisz brakujące równanie układu tak, aby powstały układ równań:

Przykład 7

Sprawdź, czy układ równań jest oznaczony, nieoznaczony, czy sprzeczny.
a) $latex \left\{ {\begin{matrix} {x+3y=5} \\ {2x-y=3} \end{matrix}} \right.$

b) $latex \left\{ {\begin{matrix} {x+y=1} \\ {x+3=-y} \end{matrix}} \right.$

c) $latex \left\{ {\begin{matrix} {x-y=6} \\ {\frac{{\text{x}-\text{y}}}{3}-\frac{{\text{x}+\text{y}}}{2}=5-x} \end{matrix}} \right.$

Przykład 8

Rozwiąż układ równań.
a) $latex \left\{ {\begin{matrix} {\left( {\text{x}-3} \right)\left( {\text{x}+3} \right)+3y-x+2={{{\left( {\text{x}-2} \right)}}^{2}}+y} \\ {-2x+y=2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~} \end{matrix}} \right.$

b) $latex \left\{ {\begin{matrix} {{{{\left( {\text{x}-2} \right)}}^{2}}-2\left( {\text{x}-2\text{y}} \right)=1-\left( {3-x} \right)\left( {3+x} \right)} \\ {2x+y=4~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~} \end{matrix}} \right.$

c) $latex \left\{ {\begin{matrix} {2\left( {\text{y}-\text{x}} \right)+4=2y~~~~~~~~~~~~~~~~~~~} \\ {y-{{{\left( {\text{x}+1} \right)}}^{2}}=2-{{{\left( {\text{x}-1} \right)}}^{2}}} \end{matrix}} \right.$

d) $latex \left\{ {\begin{matrix} {\frac{{2\text{x}-\text{y}+3}}{3}-\frac{{\text{x}-2\text{y}+3}}{4}=4} \\ {\frac{{3\text{x}-4\text{y}+3}}{4}+\frac{{4\text{x}-2\text{y}-9}}{3}=4} \end{matrix}} \right.$

Przykład 9

Rozwiąż układ równań
a) $latex \left\{ {\begin{matrix} {2x-3y-1=\frac{{x-5y}}{2}-\frac{1}{2}} \\ {1\frac{3}{4}y-\frac{1}{4}x=\frac{3}{2}y+\frac{1}{4}} \end{matrix}} \right.$

b) $latex \left\{ {\begin{matrix} {\left( {x-4} \right)\left( {x+4} \right)+y={{{\left( {x+2} \right)}}^{2}}} \\ {\frac{{2x-y}}{2}-\frac{{x-y}}{3}=1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~} \end{matrix}} \right.$

c) $latex \left\{ {\begin{matrix} {\frac{{x-y}}{2}-\frac{{2x+3}}{3}=-\frac{1}{2}} \\ {\frac{{x-y}}{5}+\frac{{y-x}}{4}=-\frac{1}{4}} \end{matrix}} \right.$