'

Wariacje bez powtórzeń

Wprowadzenie

Wariacje bez powtórzeń

Przykład 1

Ile można utworzyć trzyliterowych kodów mając do wyboru następujące litery A, B, C, D, E. Zakładamy, że litery się nie powtarzają.

Definicja 1

Każdy $latex k$ – wyrazowy ciąg utworzony z różnych elementów $latex n$ – elementowego zbioru A, gdzie $latex k\le n$, nazywamy wariacją bez powtórzeń zbioru A.

Przykład 2

Na numer pin składają się cztery cyfry. Ile jest różnych numerów pin, jeśli cyfry się nie powtarzają?

Twierdzenie 1

Jeśli $latex k\le n$, to wszystkich $latex k$-elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru $latex n$-elementowego jest:
a) $latex n\cdot \left( {n-1} \right)\cdot \ldots \cdot \left( {n-k+1} \right)=\frac{{n!}}{{\left( {n-k} \right)!}}$

Przykład 3

Ile liczb czterocyfrowych można utworzyć z cyfr należących do zbioru:
a) $latex \left\{ {1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2,\ldots ,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }9} \right\}$
b) $latex \left\{ {0,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2,\ldots ,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }9} \right\}$
jeżeli cyfry nie mogą się powtarzać.

Przykład 4

Ile jest liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach:
a) podzielnych przez $latex 5,$
b) podzielnych przez 25,
c) parzystych,
d) większych od 8642,
e) mniejszych od 2468?

Przykład 5

a) Ile jest różnych dziewięciocyfrowych numerów telefonicznych, w których żadna cyfra się nie będzie powtarzała i cyfra zero nie może być na początku?
b) Ile jest różnych dziewięciocyfrowych numerów telefonicznych zaczynających się od $latex 503$, w których żadna cyfra się nie powtarza?

Przykład 6

Ile jest różnych liczb pięciocyfrowych
a) nieparzystych,
b) parzystych,
w których cyfry się nie powtarzają?

Przykład 7

Do windy zatrzymującej się na 10 piętrach wsiadło 5 osób.
Na ile sposobów osoby te mogą opuścić windę, jeśli każda z nich wysiada:
a) na innym piętrze,
b) na innym piętrze i nikt nie wysiada na piętrze 9 i 10.

Przykład 8

Na ile sposobów można wybrać trzech różnych uczniów do zajmowania stanowisk: gospodarza klasowego, zastępcy gospodarza i skarbnika, jeśli w klasie jest 34 uczniów.

Przykład 9

W loterii sklepu wzięło udział $latex 200$ osób i każdy kupił jeden los. Można było wygrać jedną z trzech nagród: telewizor, laptop lub smartphone. Na ile sposobów mogą te osoby wylosować nagrody?