'

Wariacje z powtórzeniami

Definicja 1

Każdy $latex k$-wyrazowy ciąg utworzony z elementów zbioru $latex A$ nazywamy $latex k$-elementową wariacją z powtórzeniami zbioru $latex A$.

Przykład 1

a) Ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych, w których zapisie mogą występować tylko cyfry $latex 3$ i $latex 4$?
b) Ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych, w których zapisie mogą występować tylko cyfry $latex 1,~2,~3,~4,~5,~6$?

Przykład 2

Oblicz, ile jest czterocyfrowych liczb, w których zapisie mogą występować tylko cyfry:
a) $latex 3$ i $latex 4$,
b) $latex 1,2\text{ }\!\!~\!\!\text{ i }\!\!~\!\!\text{ }3$
c) $latex 1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }4,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }5$ i $latex 6$?

Przykład 3

Hasło jest złożone z czterech liter spośród: $latex A,~B,~C,~D,~E,~F,~G.$
a) Ile jest wszystkich haseł?
b) Ile jest haseł, w których każda litera jest inna?
c) Ile jest haseł zaczynających się od litery $latex C$?

Przykład 4

Ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych, w których zapisie nie ma:
a) cyfry $latex 0$,
b) cyfr $latex 0$ i $latex 3$,$latex 1,2\text{ }\!\!~\!\!\text{ i }\!\!~\!\!\text{ }3$cyfr $latex 0,~3$ i $latex 5$?

Przykład 5 [Matura, czerwiec 2012] 

Oblicz, ile jest liczb naturalnych pięciocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, jest dokładnie jedna cyfra $latex 7$ i dokładnie jedna cyfra parzysta, a pozostałe cyfry są nieparzyste.

Przykład 6 [Matura, czerwiec 2013] 

Oblicz, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których cyfra jedności jest o $latex 3$ większa od cyfry setek.

Przykład 7

Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych, większych od $latex 3000$, utworzonych wyłącznie z cyfr $latex 1,~2,~3$, przy założeniu, że cyfry mogą się powtarzać, ale nie wszystkie z tych cyfr muszą być wykorzystane?

Przykład 8

Ze zbioru $latex \left\{ {1,~2,~3,~4,~5} \right\}$ losujemy dwa razy po jednej liczbie (ze zwracaniem). Wylosowane liczby tworzą pary $latex \left( {x,~y} \right)$, gdzie $latex x$ jest wynikiem pierwszego losowania, y wynikiem drugiego losowania. Ile jest takich par $latex \left( {x,~y} \right)$, dla których:
a) $latex \text{x}+\text{y}$ jest liczbą parzystą,
b) $latex \text{x}+\text{y}$ jest podzielna przez $latex 3$,
c) reszta z dzielenia $latex \text{x}+\text{y}$ przez 3 jest równa $latex 1$,
d) $latex \text{x}\cdot \text{y}$ jest liczbą podzielną przez $latex 4$.

Przykład 9

Rzucamy dwiema kostkami do gry. Ile jest takich wyników tego doświadczenia, dla których suma oczek na obydwu kostkach:
a) jest podzielna przez $latex 4;$
b) jest podzielna przez 3;
c) jest większa od 6 i iloczyn tych liczb jest nieparzysty?

Przykład 10

Numer karty płatniczej VISA składa się z $latex 16$ cyfr. Pierwszą cyfrą jest cyfra $latex 4$, druga – jedną z cyfr $latex 1,~2,~3,~4,~5.$ Ile jest numerów kart płatniczych VISA, jeśli pozostałe cyfry mogą być dowolne?

Przykład 11

Na ile sposobów $latex 5$ osób może wyjść z windy, która zatrzymuje się na $latex 9$ piętrach?

Przykład 12

Do $latex 5$ szuflad wrzucamy $latex 7$ kul. Na ile sposobów możemy rozmieścić te kule? (Kule i szuflady są rozróżnialne)

Przykład 13

Ile jest telefonicznych numerów komórkowych, składających się z dziewięciu cyfr takich, że:
a) Pierwszą cyfrą jest $latex 7$ lub $latex 5$, a czwartą cyfrą $latex 0$, a pozostałe cyfry nie są ani siódemką, ani piątką, ani zerem.
b) Wszystkie cyfry są dowolne i nie występuje cyfra 0.
c) Pierwsza, czwarta i siódma cyfra jest taka sama i jest liczbą parzystą, a pozostałe cyfry są liczbami nieparzystymi i nie występuje cyfra 0.