'

Wartość bezwzględna

Definicja 1

Wartość bezwzględna liczby $latex a$ (moduł liczby $latex a$) jest to odległość na osi liczbowej punktu o współrzędnej $latex a$ od punktu o współrzędnej $latex 0$. Wartość bezwzględną liczby $latex a$ oznaczamy symbolem $latex \left| a \right|$.

$latex \left| a \right|=\left\{ {\begin{matrix} {a~dla~a\ge 0} \\ {-a~dla~a<0} \end{matrix}} \right.$

Zauważ, że $latex \left| a \right|=\left| {-a} \right|$.

Przykład 1

Oblicz:

a) $latex \left| {-2\frac{1}{2}} \right|$
b) $latex \left| 5 \right|$
c) $latex \left| 0 \right|~$
d) $latex \left| {-3\frac{1}{4}} \right|$
e) $latex \left| {3\frac{1}{4}} \right|$
f) $latex \left| {-6\frac{1}{2}} \right|$
g) $latex \left| {\frac{1}{2}} \right|$

h) $latex \left| {6\frac{1}{2}} \right|$
i) $latex \left| {\pi -3,14} \right|$
j) $latex \left| {3-\pi } \right|$
k) $latex \left| {2-2\sqrt{2}} \right|$
l) $latex \left| {\sqrt{2}-1} \right|$
m) $latex \left| {\sqrt{3}-\sqrt{5}} \right|$

Przykład 2

Oblicz wartość wyrażenia. Oceń, jaką liczbę – wymierną czy niewymierną – jest wynik obliczeń.
a) $latex \left| {3-\sqrt{2}} \right|-\left| {\sqrt{2}+4} \right|$
b) $latex 2\left| {\sqrt{2}-\sqrt{3}} \right|+\left| {\sqrt{3}-2\sqrt{2}} \right|$
c) $latex \left| {3-\pi } \right|-\left| {\pi -3} \right|$
d) $latex \left| {\sqrt{3}-1} \right|\cdot \left| {1-\sqrt{3}} \right|$
e) $latex \left| {2-\sqrt{5}} \right|\cdot \left| {2+\sqrt{5}} \right|$

Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej

Wartość bezwzględna liczby $latex x$ to jej odległość na osi liczbowej od liczby $latex 0$.

Własność

Dla dowolnego $latex a\in \mathbb{R}$ zachodzi:
$latex \left| {-a} \right|=\left| a \right|$

Przykład 3

Rozwiąż równanie:
a) $latex \left| x \right|=2$
b) $latex \left| x \right|=5$
c) $latex \left| x \right|=0$
d) $latex \left| x \right|=-3$
e) $latex \left| x \right|=4$
f) $latex \left| x \right|=6\frac{1}{2}$
g) $latex \left| x \right|=7$

Przykład 4

Rozwiąż nierówność:

a) $latex \left| x \right|<2$
b) $latex \left| x \right|\le 3$
c) $latex \left| x \right|>4$
d) $latex \left| x \right|\ge 2$
e) $latex \left| x \right|<10$
f) $latex \left| x \right|>5$

g) $latex \left| x \right|\le 2\frac{1}{2}$
h) $latex \left| x \right|\ge 1$
i) $latex \left| x \right|> 5$
j) $latex \left| x \right|<-3$
k) $latex \left| x \right|\ge -2$
l) $latex \left| x \right|\le -4$

Przykład 5

Rozwiąż nierówność:
a) $latex \left| x \right|\ge 0$
b) $latex \left| x \right|\le 0$
c) $latex \left| x \right|<0$
d) $latex \left| x \right|>0$

Własność

$latex \sqrt{{{{a}^{2}}}}=\left| a \right|$

Przykład 6

Oblicz:
a) $latex \sqrt{{{{{\left( {2-3\sqrt{2}} \right)}}^{2}}}}$
b) $latex \sqrt{{{{{\left( {2\sqrt{3}-4} \right)}}^{2}}}}$
c) $latex \sqrt{{{{{\left( {1-\sqrt{2}} \right)}}^{2}}}}$
d) $latex \sqrt{{{{{\left( {1-3\sqrt{2}} \right)}}^{2}}}}$
e) $latex \sqrt{{{{{\left( {3-\sqrt{2}} \right)}}^{2}}}}$

Przykład 7

Rozwiąż równania:
a) $latex \left| x \right|+3=0$
b) $latex \left| x \right|+7=7$
c) $latex 3\left| x \right|=6$
d) $latex -\frac{1}{5}\left| x \right|=1$
e) $latex \frac{{\left| x \right|}}{{-3}}=-\frac{2}{3}$
f) $latex \frac{{3\left| x \right|-1}}{2}=1$
g) $latex 3-\frac{2}{3}\left| x \right|=2$

Przykład 8

Rozwiąż nierówności:
a) $latex \left| x \right|-2,4\ge 0$
b) $latex \frac{3}{2}\left| x \right|-1>\frac{1}{2}$
c) $latex \frac{{6\left| x \right|-18}}{9}\le 0$
d) $latex 2<\left| x \right|<4$
e) $latex 1\le \left| x \right|\le 6$
f) $latex \frac{3}{2}\le \left| x \right|\le \frac{7}{2}$

Twierdzenie 1

Odległość na osi liczbowej między dowolnymi punktami o współrzędnych $latex a~\text{i}~b$ jest równa $latex \left| {a-b} \right|$.
Wniosek:
$latex \left| {a-b} \right|=\left| {b-a} \right|$

Przykład 9

Rozwiąż równania stosując interpretację geometryczną:
a) $latex \left| {x+4} \right|=5$
b) $latex \left| {x-2} \right|=3$
c) $latex \left| {x+3} \right|=4$
d) $latex \left| {x-1} \right|=5$

Twierdzenie 2

Dla dowolnego wyrażenia $latex w$ i dodatniej liczby rzeczywistej zachodzi
$latex \left| w \right|=a\Leftrightarrow w=a~\text{lub}~w=-a$

Przykład 10

Rozwiąż równania algebraicznie:
a) $latex \left| {\text{x}+2} \right|=7$
b) $latex \left| {x-3} \right|=4$
c) $latex \left| {x+1} \right|=5$
d) $latex \left| {x-4} \right|=8$

Przykład 11

Rozwiąż nierówność stosując interpretację geometryczną:
a) $latex \left| {x-5} \right|>3$
b) $latex \left| {x+3} \right|\le 4$
c) $latex \left| {x-4} \right|<2$
d) $latex \left| {x+1} \right|\ge 5$

Twierdzenie 3

Dla dowolnego wyrażenia $latex w$ i dodatniej liczby rzeczywistej zachodzą następujące własności:
$latex \left| w \right|<a\Leftrightarrow w < {a~i~w} > -a$
$latex \left| w \right|\le a\Leftrightarrow w\le a~i~w\ge -a$
$latex \left| w \right|>a\Leftrightarrow w>a~i~w<-a$
$latex \left| w \right|\ge a\Leftrightarrow w\ge a~i~w\le -a$

Przykład 12

Rozwiąż nierówność:
a) $latex \left| {x+5} \right|\le 3$
b) $latex \left| {x-3} \right|>4$
c) $latex \left| {x+4} \right|<7$
d) $latex \left| {x-2} \right|\ge 6$
e) $latex \left| {x-1} \right|<6$
f) $latex \left| {x+3} \right|>5$

Przykład 13

Rozwiąż nierówność:
a) $latex \left| {x+5} \right|\le 3$
b) $latex \left| {x-3} \right|>4$
c) $latex \left| {x+4} \right|<7$
d) $latex \left| {x-2} \right|\ge 6$
e) $latex \left| {x-1} \right|<6$
f) $latex \left| {x+3} \right|>5$