'

Warunek prostopadłości prostych

Wstęp

Proste $latex y={{a}_{1}}x+{{b}_{1}}$ i $latex y={{a}_{2}}x+{{b}_{2}}$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy
$latex {{a}_{1}}\cdot {{a}_{2}}=-1$

Przykład 1

Oblicz współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do podanej prostej.
a) $latex y=\frac{2}{5}x+1$
b) $latex y=6x$
c) $latex y=-2\frac{3}{4}x-5$
d) $latex y=\frac{{\sqrt{3}}}{6}x+2$

Przykład 2

Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest prostą prostopadłą do prostej będącej wykresem funkcji liniowej $latex y=ax+b$ i przechodzi przez punkt $latex A$.
a) $latex y=2x+5$ $latex ~~~~A\left( {2,~3} \right)$
b) $latex y=-\frac{1}{2}x+6$ $latex ~~~~A\left( {6,~3} \right)$
c) $latex y=-\frac{2}{3}x+\sqrt{{2019}}$ $latex ~~~~A\left( {4,~-7} \right)$
d) $latex y=-\sqrt{5}x+2\pi $ $latex ~~~~A\left( {2\sqrt{5},~0} \right)$

Przykład 3

Miejscem zerowym funkcji liniowej jest liczba $latex -4$.
Wyznacz równanie prostej będącej wykresem tej funkcji i jednocześnie prostopadłej do podanej prostej:
a) $latex 2x+3y+12=0$
b) $latex 3x-\frac{1}{4}y+7=0$
c) $latex -\frac{2}{3}x+\frac{4}{9}y+1=0$

Przykład 4

Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt $latex P\left( {3, -5} \right)$ i prostopadłej do prostej
a) $latex x=4$
b) $latex y=-6$
c) $latex x=-1$
d) $latex y=2$

Przykład 5

Wyznacz $latex m$ wiedząc, że wykres funkcji liniowej $latex g$ jest prostopadły do wykresu funkcji liniowej $latex f$, jeśli:
a) $latex f\left( x \right)=2x+3$
$latex g\left( x \right)=mx+1$
b) $latex f\left( x \right)=3+\left( {4+2m} \right)x$
$latex g\left( x \right)=-\frac{3}{2}x+5$
c) $latex f\left( x \right)=m\left( {1+\sqrt{2}} \right)x$
$latex g\left( x \right)=\left( {1-\sqrt{2}} \right)x+16$
d) $latex f\left( x \right)=-\frac{1}{5}x-2$
$latex g\left( x \right)=\left| {m-3} \right|x+1$
e) $latex f\left( x \right)=2-\left| {4-m} \right|x$
$latex g\left( x \right)=4x+3m-2$

Przykład 6

Wyznacz równania prostych: $latex AB,~AC$ i $latex BC$. Czy trójkąty $latex ABC$ jest prostokątny?
a) $latex A\left( {1, 1} \right)$, $latex B\left( {2, 2} \right)$, $latex C\left( {-3, 7} \right)$
b) $latex A\left( {-4\frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right)$, $latex B\left( {-3, -4} \right)$, $latex C\left( {6, -1} \right)$

Przykład 7

Uzasadnij, że czworokąt $latex ABCD$ jest prostokątem, jeśli:
a) $latex A\left( {-4, -1} \right)$, $latex B\left( {-1, 4} \right)$, $latex C\left( {4, 1} \right)$, $latex D\left( {1, -4} \right)$
b) $latex A\left( {-2, -3} \right)$, $latex B\left( {4, 0} \right)$, $latex C\left( {2, 4} \right)$, $latex D\left( {-4, 1} \right)$

Przykład 8

Na rysunku przedstawione są dwa wierzchołki trójkąta $latex ABC$: $latex A\left( {-3, -3} \right)$, $latex C\left( {2, 7} \right)$ oraz prosta o równaniu $latex y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}$, zawierająca przeciwprostokątną $latex AB$ tego trójkąta. Oblicz współrzędne wierzchołka $latex B$ tego trójkąta.