'

Wielokąt. Wielokąt foremny. Suma kątów w wielokącie

Definicja 1

Łamana jest to figura geometryczna, którą można przedstawić jako sumę skończonej liczby odcinków tak, aby:
• dowolne dwa odcinki miały co najwyżej jeden punkt wspólny,
• odcinki można było tak uporządkować, żeby koniec każdego odcinka (oprócz ewentualnie ostatniego) był początkiem następnego.

Odcinki tworzące łamaną nazywamy bokiem łamanej, a końce boków – wierzchołkami łamanej.

Przykład 1

Które z narysowanych obok figur są łamanymi?

Definicja 2

Łamana zwyczajna jest to łamana, której odcinki spełniają następujące warunki:
• dwa odcinki mające wspólny koniec nie zawierają się w jednej prostej,
• dwa odcinki nie mające wspólnego końca nie mają punktów wspólnych,
• każdy z punktów łamanej może być końcem co najwyżej dwóch jego boków.

Łamana zwyczajna jest zamknięta, jeśli początek i koniec ostatniego odcinka się pokrywają.

Przykład 2

Które z narysowanych obok figur są łamanymi zwyczajnymi, a które łamanymi zwyczajnymi zamkniętymi ?

Definicja 3

Wielokątem nazywamy figurę ograniczoną, wyciętą z płaszczyzny przez łamaną zwyczajną zamkniętą, wraz z tą łamaną.

Definicja 4

Przekątną wielokąta nazywamy odcinek łączący dwa wierzchołki i niebędący bokiem.

Twierdzenie 1

Liczba przekątnych w $latex n$ – kącie ($latex n\in N,~n\ge 3$ ) wyraża się wzorem:
$latex \frac{{n\left( {n-3} \right)}}{2}$

Przykład 3

Wyznacz liczbę przekątnych :
a) pięciokąta,
b) sześciokąta,
c) dziesięciokąta,
d) dwudziestokąta.

Przykład 4

Czy istnieje wielokąt, którego liczba przekątnych jest $latex 5$ razy większa od liczby boków?

Przykład 5

Który wielokąt ma tyle samo przekątnych co boków?

Przykład 6

Wyznacz liczbę boków wielokąta, którego liczba przekątnych jest $latex 6$ razy większa od liczby boków.

Przykład 7

Wyznacz liczbę boków wielokąta, którego liczba przekątnych jest $latex 8$ razy większa od liczby boków.

Przykład 8

Wykaż, że suma miar kątów wewnętrznych w dowolnym czworokącie wynosi $latex 360{}^\circ $.

Przykład 9

Oblicz sumę miar kątów wewnętrznych:
a) pięciokąta,
b) sześciokąta,
c) dziewięciokąta,
d) dwunastokąta,
e) $latex n-$kąta.

Twierdzenie 2

Suma miar kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego jest równa $latex 180{}^\circ \cdot \left( {n-2} \right)$, gdzie $latex n$ oznacza liczbę boków wielokąta
($latex n\in N,~n>2$).

Przykład 10

Ile boków ma wielokąt, w którym suma miar kątów wewnętrznych jest równa:
a) $latex 1440{}^\circ $,
a) $latex 2160{}^\circ $,
b) $latex 2700{}^\circ \text{ }\!\!~\!\!\text{ }?$

Definicja 5

Wielokątem foremnym nazywamy taki wielokąt, którego wszystkie boki mają taką samą długość i wszystkie kąty są równe.

Przykład 11

Oblicz miarę kąta wewnętrznego:
a) sześciokąta foremnego
b) ośmiokąta foremnego
c) dwudziestokąta foremnego

Przykład 12

Ile boków ma wielokąt foremny, którego kąt wewnętrzny ma miarę $latex 150{}^\circ $?

Przykład 13

Oblicz liczbę przekątnych wielokąta, którego suma kątów wewnętrznych jest równa:
a) $latex 1260{}^\circ $
b) $latex 3240{}^\circ $

Kąt zewnętrzny wielokąta wypukłego, to kąt przyległy do kąta wewnętrznego.

Twierdzenie 3

W dowolnym wielokącie wypukłym suma wszystkich kątów zewnętrznych jest stała i wynosi $latex 720{}^\circ .$

Przykład 14

W jakim wielokącie wypukłym stosunek sumy miar kątów wewnętrznych do sumy miar wszystkich kątów zewnętrznych jest równy:
a) $latex 4\frac{1}{2}$
b) $latex 3\frac{3}{4}$ ?

Przykład 15

Ile przekątnych ma wielokąt foremny, którego kąt zewnętrzny ma miarę $latex 18{}^\circ $?