Własności funkcji liniowej [CAŁOŚCIOWE OMÓWIENIE]
Miejsce zerowe funkcji liniowej
$latex f\left( x \right)=ax+b$
• Jeśli $latex a\ne 0$ to funkcja liniowa ma jedno miejsce zerowe: $latex x=-\frac{b}{a}$
• Jeśli $latex a=0$ i $latex b\ne 0$ to funkcja liniowa nie ma miejsc zerowych
• Jeśli $latex a=0$ i $latex b=0$ to funkcja liniowa ma nieskończenie wiele miejsc zerowych
Przykład 1
Wyznacz miejsca zerowe funkcji:
a) $latex f\left( x \right)=3x-6$
b) $latex f\left( x \right)=\frac{1}{4}x+2$
c) $latex f\left( x \right)=-5x-7$
d) $latex f\left( x \right)=\frac{6}{5}x-\frac{{12}}{{25}}$
Przykład 2
Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układu współrzędnych i wykresem funkcji $latex f$.
a) $latex f\left( x \right)=2x+\frac{1}{6}$
b) $latex f\left( x \right)=3x-12$
c) $latex f\left( x \right)=\frac{2}{7}x-4$
Monotoniczność funkcji liniowej
Funkcja $latex f\left( x \right)=ax+b$ jest funkcją:
• rosnącą dla $latex a>0$
• malejącą dla $latex a<0$
• stałą dla $latex a=0$
Przykład 3
Określ monotoniczność funkcji $latex f$.
a) $latex f\left( x \right)=5x-1$
b) $latex f\left( x \right)=-2\frac{1}{2}x+3$
c) $latex f\left( x \right)=-x+4$
d) $latex f\left( x \right)=6$
e) $latex f\left( x \right)=\sqrt{2}x+3$
f) $latex f\left( x \right)=\left( {1-\sqrt{2}} \right)x+2$
Przykład 4
Na podstawie danego wykresu funkcji $latex f\left( x \right)=ax+b$ określ znaki współczynników $latex a$ i $latex b$.
Przykład 5
Określ przez które ćwiartki układu współrzędnych przechodzi prosta:
a) $latex f\left( x \right)=3x-1-2\sqrt{3}$
b) $latex f\left( x \right)=-\frac{1}{2}x-2$
c) $latex f\left( x \right)=-4x+5$
d) $latex f\left( x \right)=\frac{2}{5}x+\sqrt{3}-1$
Przykład 6
Określ monotoniczność funkcji $latex f\left( x \right)=ax-7$, gdy:
a) $latex a=2\sqrt{3}-10$
b) $latex a=5-2\sqrt{2}$
c) $latex a=7-6\sqrt{5}$
d) $latex a=5-\sqrt[3]{{-125}}$
Przykład 7
Określ monotoniczność funkcji $latex f$ w zależności od parametru $latex m$.
a) $latex f\left( x \right)=\left( {3-m} \right)x+1$
b) $latex f\left( x \right)=\left( {2+5m} \right)x+3-11m$
c) $latex f\left( x \right)=\left( {\left| m \right|-4} \right)x+3$
Przykład 8
Wyznacz wzór funkcji liniowej, jeśli do jej wykresu należy punkt:
a) $latex \left( {0,~5} \right)$ i przyjmuje ona wartości ujemne tylko dla $latex x<-4$
b) $latex \left( {0,~-4} \right)$ i przyjmuje ona wartości dodatnie tylko dla $latex x\le 3$
Przykład 9
Wyznacz równania prostych, w których zawierają się boki czworokąta
a) Rysunek w filmie
b) $latex \left( {-40,~0} \right),~\left( {0,~-20} \right),~\left( {30,~0} \right),~\left( {0,~50} \right)$
Przykład 10
Wyznacz wzór funkcji liniowej, jeśli trójkąta ograniczony jej wykresem i osiami układu współrzędnych jest równoramienny oraz:
a) Funkcja ta przyjmuje wartości ujemne tylko dla $latex x>5$.
b) Do wykresu tej funkcji należy punkt $latex \left( {0,~-6} \right)$.
c) Do wykresu tej funkcji należy punkt $latex \left( {-4,~0} \right)$