'

Własności prawdopodobieństwa

Definicja 1

Prawdopodobieństwem określonym na skończonej przestrzeni zdarzeń elementarnych $latex \Omega $ nazywamy taką funkcję $latex P$, która każdemu zdarzeniu $latex A,~A\subset \Omega $ przyporządkowuje liczbę rzeczywistą $latex P\left( A \right)$ w taki sposób, że:
a) $latex \text{P}\left( \text{A} \right)\ge 0;$
b) $latex \text{P}\left( \Omega \right)=1$
c) $latex \text{ }\!\!~\!\!\text{ }$jeśli $latex \text{A},\text{ }\!\!~\!\!\text{ B}\subset \Omega $ i $latex \text{A}\cap \text{B}=\varnothing $, to $latex \text{P}\left( {\text{A}\cup \text{B}} \right)=\text{P}\left( \text{A} \right)+\text{P}\left( \text{B} \right)$

Twierdzenie 1

Jeśli $latex P$ jest prawdopodobieństwem określonym w przestrzeni zdarzeń elementarnych $latex \Omega $ oraz $latex A,~B\subset \Omega $, to:
a) $latex \text{P}\left( \varnothing \right)=0$
b) jeśli $latex \text{A}\subset \text{B},\text{ }\!\!~\!\!\text{ to }\!\!~\!\!\text{ P}\left( \text{A} \right)\le \text{P}\left( \text{B} \right)$
c) $latex \text{P}\left( \text{A} \right)\le 1$
d) $latex \text{P}\left( {\text{{A}’}} \right)=1-\text{P}\left( \text{A} \right)$

Przykład 1

Oblicz $latex P\left( {{A}’} \right)$ jeśli:
a) $latex \text{P}\left( \text{A} \right)=\frac{1}{2}$
b) $latex \text{P}\left( \text{A} \right)=0,3$
c) $latex \text{P}\left( \text{A} \right)=0,46$

Przykład 2

Oblicz $latex P\left( A \right)$ jeśli:
a) $latex \text{P}\left( {\text{{A}’}} \right)=0,4$
b) $latex \text{P}\left( {\text{{A}’}} \right)=\frac{4}{5}$
c) $latex \text{P}\left( {\text{{A}’}} \right)=0,43$

Przykład 3

a) Rzucamy trzykrotnie monetą. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że przynajmniej raz wypadnie orzeł.
b) Rzucamy czterokrotnie monetą. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że przynajmniej raz wypadnie orzeł.
c) Rzucamy trzykrotnie kostką. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że przynajmniej raz otrzymamy $latex 5$ oczek.

Przykład 4

Rzucamy dwukrotnie kostką. Zdarzenie $latex A$ polega na tym, że suma liczb oczek, które wypadną w obu rzutach jest równa co najmniej $latex 3$.
Określ zdarzenie $latex A’$ i wypisz sprzyjające mu zdarzenia elementarne, a następnie oblicz $latex P\left( {{A}’} \right)$ oraz $latex P\left( A \right)$.

Twierdzenie 2

Niech $latex \Omega $ będzie zbiorem zdarzeń elementarnych, na którym zostało określone prawdopodobieństwo $latex P$. Wówczas dla dowolnych zdarzeń
$latex A,~B\subset \Omega :$

$latex P\left( {A\cup B} \right)=P\left( A \right)+P\left( B \right)-P\left( {A\cap B} \right)$

Przykład 5

Oblicz $latex P\left( {A\cup B} \right)$, jeśli:
a) $latex \text{P}\left( \text{A} \right)=0,5;\text{P}\left( \text{B} \right)=0,6;$
$latex \text{P}\left( {\text{A}\cap \text{B}} \right)=0,2$
b) $latex \text{P}\left( \text{A} \right)=\frac{1}{2};\text{P}\left( {\text{{B}’}} \right)=\frac{2}{3};$
$latex \text{P}\left( {\text{A}\cap \text{B}} \right)=0,25$
c) $latex \text{P}\left( {\text{{A}’}} \right)=\frac{2}{3};\text{P}\left( \text{B} \right)=\frac{2}{5};$
$latex \text{P}\left( {\text{A}\cap \text{B}} \right)=\frac{1}{4}$

Twierdzenie 3

Niech $latex \Omega $ będzie zbiorem zdarzeń elementarnych, na którym zostało określone prawdopodobieństwo $latex P$. Dla dowolnych zdarzeń $latex A,~B\subset \Omega $:
$latex P\left( {A-B} \right)=P\left( A \right)-P\left( {A\cap B} \right)$

Przykład 6

Oblicz $latex P\left( {A-B} \right)$ jeśli:
a) $latex \text{P}\left( \text{A} \right)=0,5;\text{ }\!\!~\!\!\text{ P}\left( {\text{A}\cap \text{B}} \right)=0,2$
b) $latex \text{P}\left( \text{A} \right)=\frac{1}{2};\text{P}\left( \text{B} \right)=\frac{2}{3};\text{P}\left( {\text{A}\cup \text{B}} \right)=\frac{4}{5}$

Przykład 7

Wiedząc, że:
$latex A\cap B=\varnothing ,~P\left( A \right)=\frac{2}{5},~P\left( B \right)=\frac{1}{2}$
Oblicz:
a) $latex \text{P}\left( {\text{A}\cup \text{B}} \right)$
b) $latex \text{P}\left( {\text{A}-\text{B}} \right)$
c) $latex \text{P}\left( {\text{B}-\text{A}} \right)$
d) $latex \text{P}\left( {\text{{A}’}} \right)$

Przykład 8

Wiedząc, że:
$latex B\subset A~i~P\left( A \right)=\frac{3}{5},~P\left( B \right)=\frac{2}{5}$
Oblicz:
a) $latex \text{P}\left( {\text{A}\cup \text{B}} \right)$
b) $latex \text{P}\left( {\text{A}-\text{B}} \right)$
c) $latex \text{P}\left( {\text{A}\cap \text{B}} \right)$
d) $latex \text{P}\left( {\text{B}-\text{A}} \right)$

Przykład 9

Wiedząc, że:
$latex A\cap B=\varnothing ,~P\left( A \right)=0,4,~P\left( {A\cup B} \right)=0,6$
Oblicz:
a) $latex \text{P}\left( \text{B} \right)$
b) $latex \text{P}\left( {\text{A}-\text{B}} \right)$
c) $latex \text{P}\left( {\text{B}-\text{A}} \right)$

Przykład 10

Wiedząc, że:
$latex P\left( A \right)=\frac{1}{3},~P\left( B \right)=\frac{2}{5},~P\left( {A\cap B} \right)=\frac{1}{4}$
Oblicz:
a) $latex \text{P}\left( {\text{A}\cup \text{B}} \right)$
b) $latex \text{P}\left( {\text{B}-\text{A}} \right)$
c) $latex \text{P}\left( {\text{A}-\text{{B}’}} \right)$

Przykład 11

Wiedząc, że:
$latex P\left( {{B}’} \right)=0,75,~P\left( {A\cup B} \right)=\frac{1}{3},~P\left( {A\cap B} \right)=0,2~$
Oblicz:
a) $latex \text{P}\left( \text{B} \right)$
b) $latex \text{P}\left( {\text{{A}’}} \right)$
c) $latex \text{P}\left( {\text{A}-\text{B}} \right)$
d) $latex \text{P}\left( {\text{B}-\text{A}} \right)$

Przykład 12

Rzucamy trzykrotnie kostką. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że piątka wypadnie co najwyżej dwa razy.

Przykład 13

a) Losujemy jedną liczbę spośród: $latex 1,~2,~3,\ldots ,~100.$ Oblicz prawdopodobieństwo tego, że liczba ta jest podzielna przez $latex 3$ lub $latex 7$.
b) Losujemy jedną liczbę spośród: $latex 1,~2,~3,\ldots ,~1000$. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez $latex 3$ lub $latex 5$.