'

Współczynnik kierunkowy prostej

Wstęp

Współczynnik kierunkowy prostej
$latex y=ax+b$ przechodzącej przez punkty $latex A\left( {{{x}_{1}},{{y}_{1}}} \right),~B\left( {{{x}_{2}},{{y}_{2}}} \right)$, gdzie $latex {{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}$, dany jest wzorem:
$latex a=\frac{{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}}{{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}}$

Przykład 1

Oblicz współczynnik kierunkowy i wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty:
a) $latex \text{A}\left( {3, -7} \right)$ $latex ~~~~\text{B}\left( {1,-1} \right)$
b) $latex \text{A}\left( {6, 3} \right)$ $latex ~~~~\text{B}\left( {3, 4} \right)$
c) $latex \text{A}\left( {-12, 7} \right)$ $latex ~~~~\text{B}\left( {\sqrt{5}, 7} \right)$
d) $latex \text{A}\left( {9, 2} \right)$ $latex ~~~~\text{B}\left( {-3, -6} \right)$

Przykład 2

Funkcja liniowa ma wzór $latex f\left( x \right)=ax+b$, gdzie $latex x\in \mathbb{R}$. Oblicz współczynniki $latex a$ i $latex b$ tej funkcji wiedząc, że $latex a+b=4$ oraz, że do wykresu tej funkcji należy dany punkt $latex A$:
a) $latex \text{A}\left( {0,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }5} \right)$
b) $latex \text{A}\left( {0, -6} \right)$
c) $latex \text{A}\left( {2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }3} \right)$

Przykład 3

Wyznacz wartość współczynnika kierunkowego $latex a$ we wzorze funkcji liniowej wiedząc, że do wykresu tej funkcji należy punkt $latex A$ oraz
a) $latex \text{y}=\text{ax}-11$ $latex ~~~~ \text{A}\left( {-3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2} \right)$
b) $latex \text{y}=\text{ax}+5$ $latex ~~~~\text{A}\left( {1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }4} \right)$
c) $latex \text{y}=\text{ax}+10$ $latex ~~~~\text{A}\left( {-8,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }4} \right)$

Przykład 4

Wyznacz liczbę $latex k$, a następnie oblicz wartość współczynnika kierunkowego funkcji liniowej wiedząc, że do wykresu tej funkcji należy punkt $latex A$, jeśli:
a) $latex \text{y}=\left( {6-4\text{k}} \right)\text{x}-18$ $latex ~~~~\text{A}\left( {6,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-6} \right)$
b) $latex \text{y}=\left( {-2\text{k}+15} \right)\text{x}-11$ $latex ~~~~\text{A}\left( {-3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }4} \right)$
c) $latex \text{y}=100-\left( {25\text{m}+4} \right)\text{x}$ $latex ~~~~\text{A}\left( {-1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }4} \right)$

Przykład 5

Wykorzystując znaczenie współczynników we wzorze funkcji liniowej, naszkicuj wykres funkcji:
a) $latex \text{y}=5\text{x}-3$
b) $latex \text{y}=-2\text{x}+1$
c) $latex \text{y}=4\text{x}+2$
d) $latex \text{y}=\frac{1}{3}\text{x}+2$
e) $latex \text{y}=-\frac{3}{4}\text{x}-2$

Przykład 6

Na podstawie rysunku wykresu funkcji liniowej $latex y=ax+b$ odczytaj wartości współczynników $latex a$ i $latex b$ oraz napisz wzór tej funkcji

Przykład 7

Oblicz współczynniki kierunkowe prostych, w których zawierają się boki czworokąta $latex ABCD$. Uzasadnij, że czworokąt ten jest trapezem.
a) $latex \text{A}\left( {-4, -2} \right)$, $latex\text{B}\left( {6, -2} \right)$, $latex\text{C}(2, 4$), $latex \text{D}\left( {-4, 4} \right)$
b) $latex \text{A}\left( {-6,0} \right)$, $latex \text{B}\left( {0, 3} \right)$, $latex \text{C}\left( {0, 5} \right)$, $latex \text{D}\left( {-10, 0} \right)$