'

Hiperbola – wykres funkcji a/x [CAŁOŚCIOWE OMÓWIENIE]

Definicja 1

Wykres funkcji $latex y=\frac{a}{x}$, dla $latex a\ne 0$ i $latex x\ne 0$ oraz każdą krzywą powstałą z tego wykresu przez przesunięcie równoległe nazywamy hiperbolą.

Przykład 1

Na podstawie wykresu funkcji $latex f\left( x \right)=\frac{1}{x}$ omów jej własności.

UWAGA

Wykres funkcji $latex f\left( x \right)=\frac{1}{x}$ „zbliża się” do prostej poziomej $latex y=0$ oraz prostej pionowej $latex x=0$. Takie proste nazywamy asymptotami wykresu funkcji.

Proste poziome nazywamy asymptotami poziomymi, a proste pionowe asymptotami pionowymi.

Przykład 2

Naszkicuj wykres funkcji $latex f\left( x \right)=-\frac{1}{x}$, a następnie omów własności tej funkcji.

Przykład 3

Sporządź odpowiednią tabelkę i naszkicuj wykres funkcji $latex f\left( x \right)$. Podaj jej wartość najmniejszą i największą dla $latex x\in ~\left\langle {-1,~2} \right\rangle $.
a) $latex f\left( x \right)=\frac{2}{x}$
b) $latex f\left( x \right)=-\frac{4}{x}$
c) $latex f\left( x \right)=\frac{6}{x}$
d) $latex f\left( x \right)=-\frac{8}{x}$

Przykład 4

Dopasuj wzór funkcji do odpowiedniego wykresu.
a) $latex f\left( x \right)=-\frac{4}{x},~g\left( x \right)=\frac{5}{x},~h\left( x \right)=-\frac{2}{x},~s\left( x \right)=\frac{1}{{2x}}$
b) Które z punktów $latex A\left( {-\sqrt{2},~2\sqrt{2}} \right),~~B\left( {\frac{1}{2},-8} \right),~C\left( {2\frac{1}{2},-1,5} \right)$ należą do wykresu funkcji $latex f\left( x \right)$.

Przykład 5

Określ zbiór wartości funkcji $latex f\left( x \right)=\frac{6}{x}$, której dziedziną jest przedział:
a) $latex \left\langle {-3,~-2} \right\rangle $
b) $latex \left\langle {2,~6} \right\rangle $

Przykład 6

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $latex f\left( x \right)=\frac{a}{x}$. Oblicz $latex a$.
a) $latex y=-\frac{2}{x}$
b) $latex y=\frac{6}{x}$

Przykład 7

Oblicz wartość współczynnika $latex a$, aby punkt $latex P$ należał do wykresu funkcji $latex f\left( x \right)=\frac{a}{x}$.
a) $latex P\left( {2,~8} \right)$
b) $latex P\left( {-\frac{1}{6},~5} \right)$
c) $latex P\left( {-5,~20} \right)$
d) $latex P\left( {\frac{1}{6},~-12} \right)$