'

Wykres funkcji kwadratowej

Definicja 1

Funkcją kwadratową nazywamy funkcję, którą można opisać wzorem:

$latex \text{y}=\text{a}{{\text{x}}^{2}}+\text{bx}+\text{c}$, gdzie $latex \text{a}\ne 0$.

Liczby rzeczywiste $latex \text{a},\text{ }\!\!~\!\!\text{ b}$ oraz $latex \text{c}$ nazywamy współczynnikami funkcji kwadratowej.
Dziedziną funkcji kwadratowej jest zbiór liczb rzeczywistych.

Wzór funkcji $latex \text{y}=\text{a}{{\text{x}}^{2}}+\text{bx}+\text{c}$, gdzie $latex \text{a}\ne 0$ nazywamy wzorem funkcji kwadratowej w postaci ogólnej.

Przykład 1

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\text{x}}^{2}}$. Omów własności tej funkcji.

Przykład 2

Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\text{x}}^{2}}$, $latex \text{g}\left( \text{x} \right)=2{{\text{x}}^{2}}$, $latex \text{h}\left( \text{x} \right)=\frac{1}{2}{{\text{x}}^{2}}$

Przykład 3

Sprawdź, czy punkt $latex \text{A}$ należy do wykresu funkcji $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=2{{\text{x}}^{2}}$.
a) $latex \text{A}\left( {-\frac{1}{2},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\frac{1}{2}} \right)$
b) $latex \text{A}\left( {-3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }18} \right)$
c) $latex \text{A}\left( {\sqrt{3},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }9} \right)$
d) $latex \text{A}\left( {\sqrt{5},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }10} \right)$

Przykład 4

Oblicz wartość współczynnika $latex \text{a}$, jeśli punkt $latex \text{A}$ należy do wykresu funkcji $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\text{a}{{\text{x}}^{2}}$.
a) $latex \text{A}\left( {-1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }1} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$
b) $latex \text{A}\left( {-2,8} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$
c) $latex \text{A}\left( {\sqrt{5},-1} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$
d) $latex \text{A}\left( {\frac{1}{4},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2} \right)$

Przykład 5

Naszkicuj wykres funkcji $latex \text{y}=-{{\text{x}}^{2}}$, a następnie podaj:
a) zbiór wartości tej funkcji;
b) przedziały monotoniczności;
c) równanie osi symetrii;
d) współrzędne wierzchołka;
e) wartość największą ( o ile istnieje).

Przykład 6

W prostokątnym układzie współrzędnych naszkicuj wykres funkcji $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\text{a}{{\text{x}}^{2}}$, jeśli należy do niego punkt $latex \text{A}$:
a) $latex \text{A}\left( {1,-2} \right)$
b) $latex \text{A}\left( {2,-1} \right)$
c) $latex \text{A}\left( {\sqrt{2},-1} \right)$

Przykład 7

Prosta $latex \text{y}=3$ przecina parabolę $latex \text{y}=\text{a}{{\text{x}}^{2}}$ w punktach $latex \text{A }\!\!~\!\!\text{ }$i $latex \text{B}$. Oblicz $latex \text{a}$, jeśli:
a) $latex \left| {\text{AB}} \right|=4$;
b) $latex \left| {\text{AB}} \right|=2\sqrt{3}$;
c) $latex \left| {\text{AB}} \right|=\frac{2}{3}$.