'

Wykres funkcji liniowej

Definicja 1

Funkcję określoną wzorem $latex f\left( x \right)=ax+b$ dla $latex x\in \mathbb{R}$, gdzie $latex a$ i $latex b$ są stałymi, nazywamy funkcją liniową.

Przykład 1

Naszkicuj wykres funkcji: $latex f\left( x \right)=2x-1.$

Przykład 2

Naszkicuj wykres funkcji:
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{1}{2}\text{x}+4$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=2\text{x}-5$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-3\text{x}+1$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-\frac{1}{3}\text{x}-3$

Przykład 3

Znajdź dwa punkty o współrzędnych całkowitych, które należą do wykresu funkcji $latex f$, a następnie naszkicuj wykres tej funkcji:
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{2}{3}\text{x}-2$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-\frac{2}{5}\text{x}+1$

Definicja 2

Liczbę $latex a$ występującą we wzorze funkcji liniowej $latex f\left( x \right)=ax+b$ nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej.

Przykład 4

Napisz wzór funkcji liniowej, do której wykresu należą punkt $latex \left( {0,~0} \right)$ i punkt $latex A$, gdy:
a) $latex \text{A}\left( {2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }1} \right)$
b) $latex \text{A}\left( {\sqrt{2},2} \right)$
c) $latex \text{A}\left( {-10,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2} \right)$
d) $latex \text{A}\left( {-2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-7} \right)$

Przykład 5

Napisz wzór funkcji liniowej $latex f\left( x \right)$ o współczynniku kierunkowym $latex a$, do której wykresu należy punkt $latex P$, gdy:
a) $latex \text{a}=3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ P}\left( {-1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-5} \right)$
b) $latex \text{a}=-\frac{1}{2},\text{ }\!\!~\!\!\text{ P}\left( {-4,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }1} \right)$
c) $latex \text{a}=\frac{1}{3},\text{ }\!\!~\!\!\text{ P}\left( {6,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-1} \right)$
d) $latex \text{a}=-2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ P}\left( {0,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\sqrt{5}} \right)$

Przykład 6

Na podstawie wykresu funkcji $latex f\left( x \right)=2x$ naszkicuj wykresy następujących funkcji:
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=2\text{x}+3$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=2\text{x}-2$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=2\text{x}+1$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=2\text{x}-4$

Twierdzenie 1

Proste $latex k$ i $latex l$ dane równaniami:
$latex k:y={{a}_{1}}x+{{b}_{1}}$
$latex l:y={{a}_{2}}x+{{b}_{2}}$
są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy $latex {{a}_{1}}={{a}_{2}}$.

Przykład 7

Które spośród prostych $latex {{k}_{1}},{{k}_{2}},\ldots ,~{{k}_{6}}$ są równoległe?
$latex {{k}_{1}}:y=5x+\frac{1}{2}$        $latex{{k}_{2}}:y=\frac{1}{5}x-3$

$latex {{k}_{3}}:y=4x-1$        $latex {{k}_{4}}:y=5x-6$

$latex {{k}_{5}}:y=4x+7$        $latex {{k}_{6}}:y=\frac{1}{5}x+3$

Przykład 8

Które spośród prostych $latex {{k}_{1}},{{k}_{2}},\ldots ,~{{k}_{6}}$ są równoległe?
$latex {{k}_{1}}:y=5x+\frac{1}{2}$        $latex {{k}_{2}}:y=\frac{1}{5}x-3$

$latex {{k}_{3}}:y=4x-1$        $latex { }{{k}_{4}}:y=5x-6$

$latex {{k}_{5}}:y=4x+7$        $latex {{k}_{6}}:y=\frac{1}{5}x+3$

Przykład 9

Dwa boki równoległoboku są zawarte w prostych $latex y=-\frac{1}{5}x-1\frac{3}{5}$, $latex y=\frac{3}{2}x+3\frac{1}{2}$.
Wyznacz równania prostych zawierających pozostałe boki równoległoboku.

Przykład 10

Czy czworokąt, którego boki są zawarte w prostych $latex k,~l,~m,~n$ jest trapezem? Czy jest równoległobokiem?
$latex \text{k}:y=-\frac{3}{2}x+4$       $latex \text{l}:y=\frac{1}{9}x-2$
$latex \text{m}:y=-1,5x+3$        $latex \text{n}:y=0,11x+3$
$latex \text{k}:y=-\frac{2}{7}x-1$        $latex \text{l}:y=-\frac{3}{{11}}x+8$
$latex \text{m}:y=\frac{3}{4}x+3$        $latex \text{n}:y=6-\frac{2}{7}x$

Przykład 11

Jedna z podstaw trapezu o wierzchołkach $latex A\left( {-1,~-2} \right),~B\left( {5,1} \right),~C\left( {2,~3} \right),~D\left( {0,~2} \right)$ jest zawarta w prostej $latex y=\frac{1}{2}x+2$. Wyznacz równanie prostej zawierającej drugą podstawę trapezu.

Przykład 12

Proste przedstawione na rysunku obok są równoległe do prostej $latex k:y=\frac{2}{3}x$. Podaj ich równania.

Przykład 13

Podaj trzy kolejne liczby naturalne, z których najmniejszą jest [latex]n[/latex].

Przykład 14

Wyznacz zbiór wszystkich wartości $latex n$, dla których wykresy funkcji liniowych $latex f$ oraz $latex g$ są prostymi równoległymi, gdy:
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=3\text{x}-5\text{m}$
$latex \text{g}\left( \text{x} \right)=2\text{mx}+3\text{m}$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\left( {3\text{m}+2} \right)\text{x}+7\text{m}$
$latex \text{g}\left( \text{x} \right)=\left( {2-5\text{m}} \right)\text{x}-7\text{m}$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\left| \text{m} \right|\text{x}+6$
$latex \text{g}\left( \text{x} \right)=3\text{x}-7+\left| {3\text{m}} \right|$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=5\text{x}-2\text{m}+1$
$latex \text{g}\left( \text{x} \right)=\left| {2\text{m}-1} \right|\text{x}+12\text{m}-8$