'

Wyrażenia wymierne

Definicja 1

Wyrażeniem wymiernym nazywamy wyrażenie zapisane w postaci ilorazu dwóch sum algebraicznych, np.:
$latex \frac{{3x+1}}{5},\frac{{4{{x}^{2}}-1}}{{2x+3}},\frac{x}{{{{x}^{3}}+1}},\frac{{{{x}^{2}}+5}}{{{{x}^{2}}-3}}$

Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych wszystkich liczb, dla których wyrażenie ma sens liczbowy.
Dzielenie przez $latex 0$ nie jest wykonalne, dlatego spośród wszystkich liczb rzeczywistych należy wykluczyć te, dla których mianownik wyrażenia zeruje się.

Przykład 1

Wyznacz dziedzinę funkcji $latex f\left( x \right):$
a) $latex f\left( x \right)=\frac{{3x-12}}{{x+1}}$
b) $latex f\left( x \right)=\frac{{2{{x}^{2}}-9}}{{x-1,5}}$
c) $latex f\left( x \right)=\frac{{3x}}{{{{x}^{2}}-16}}$
d) $latex f\left( x \right)=\frac{{{{x}^{2}}+5x}}{{\left( {3-x} \right)\left( {3+x} \right)}}$
e) $latex f\left( x \right)=\frac{{x\left( {{{x}^{2}}+6} \right)}}{{{{x}^{2}}+2x+1}}$
f) $latex f\left( x \right)=\frac{{-x}}{{{{x}^{2}}+3x-4}}$
g) $latex f\left( x \right)=\frac{{16x+1}}{{12{{x}^{4}}+5{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}}}$
h) $latex f\left( x \right)=\frac{{{{x}^{3}}-7x}}{{{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2}}$
i) $latex f\left( x \right)=\frac{{4x-1}}{{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-4x-12}}$
j) $latex f\left( x \right)=\frac{{2{{x}^{2}}-1}}{{\left( {{{x}^{2}}+1} \right)\left( {{{x}^{2}}+4} \right)}}$

Przykład 2

Podaj dziedzinę wyrażenia, a następne je uprość:
a) $latex \frac{{{{x}^{2}}-4}}{{x+2}}$
b) $latex \frac{{3x+6}}{{{{x}^{2}}-9}}$
c) $latex \frac{{2x}}{{{{x}^{2}}+2x}}$
d) $latex \frac{{3x-9}}{{{{x}^{3}}-9x}}$
e) $latex \frac{{{{x}^{2}}-6x}}{x}$
f) $latex \frac{{x+4}}{{3x+12}}$

Przykład 3

Podaj dziedzinę wyrażenia, a następne je uprość:
a) $latex \frac{{{{x}^{2}}-4}}{{x+2}}$
b) $latex \frac{{3x+6}}{{{{x}^{2}}-9}}$
c) $latex \frac{{2x}}{{{{x}^{2}}+2x}}$
d) $latex \frac{{3x-9}}{{{{x}^{3}}-9x}}$
e) $latex \frac{{{{x}^{2}}-6x}}{x}$
f) $latex \frac{{x+4}}{{3x+12}}$