Wysokości i środkowe w trójkącie [ROZSZERZENIE]
Co nazywamy wysokością trójkąta?
Wysokością trójkąta nazywamy odcinek (a także jego długość) łączący wierzchołek trójkąta z prostą zawierającą przeciwległy bok.
Twierdzenie
W dowolnym trójkącie wysokości lub ich przedłużenia przecinają się w jednym punkcie.
Punkt przecięcia wysokości trójkąta nazywamy ortocentrum.
Wysokości w wybranych trójkątach
W trójkącie równoramiennym wysokość poprowadzona na podstawę dzieli ją na połowy.
W trójkącie równobocznym wszystkie wysokości są równe.
W trójkącie prostokątnym wysokość $h$ poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na odcinki mające długość $x,\ y$, dla których $h = \sqrt{\text{xy}}$.
Przykład 1
Obwód trójkąta $\text{ABC}$ wynosi $42$ cm. Wysokość $\text{CD}$ dzieli go na dwa trójkąty, których obwody wynoszą $24$ cm i $30$ cm. Oblicz długość wysokości $\text{CD}$.
Przykład 2
Oblicz długość wysokości trójkąta równobocznego o boku długości
a) $8$
b) $4\sqrt{3}$
c) $2\sqrt{6}$
Przykład 3
Oblicz długość boku trójkąta równobocznego, którego wysokość ma długość:
a) $4\sqrt{3}$
b) $7\sqrt{6}$
c) $12$
Przykład 4
Oblicz długość boku trójkąta równobocznego wiedząc, że jest on o $2$ dłuższy od wysokości tego trójkąta.
Przykład 5
Oblicz obwód trójkąta prostokątnego równoramiennego wiedząc, że najkrótsza wysokość tego trójkąta jest o $3$ krótsza od pozostałych wysokości.
Przykład 6
W trójkącie prostokątnym wysokości mają długość: $6$ cm, $8$ cm, $4,8$ cm. Jaką długość mają odcinki, na które spodek wysokości, poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego, podzielił przeciwprostokątną?
Przykład 7
W trójkącie prostokątnym poprowadzono wysokość z wierzchołka kąta prostego. Spodek wysokości podzielił przeciwprostokątną na odcinki długości $x$ i $y$. Oblicz długość tej wysokości
a) $a = 7,\ b = 6$
b) $x = \sqrt{2},\ y = \sqrt{7}$
c) $x = 2\sqrt{\frac{14}{25}},\ y = 1,6$
Przykład 8
Obwód trójkąta równoramiennego ma długość $16$ cm, a wysokość opuszczona na podstawę ma długość $4$ cm. Oblicz długości boków tego trójkąta.
Czym jest środkowa w trójkącie?
Środkową trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku.
Twierdzenie
Środkowe w wybranych trójkątach
W trójkącie równoramiennym środkowa poprowadzona do podstawy jest jednocześnie wysokością.
W trójkącie równobocznym środkowe i wysokości pokrywają się.
W trójkącie prostokątnym środkowa poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość równą połowie długości przeciwprostokątnej.
Przykład 9
W trójkącie równoramiennym $\text{ABC}$ podstawa $\text{AB}$ ma długość $3$ cm, a środkowa $\text{CE}$ ma długość $6$ cm. Oblicz długości pozostałych środkowych.
Przykład 10
Oblicz miary kątów trójkąta prostokątnego $ABC,$wiedząc, że środkowa i wysokość poprowadzone z wierzchołka $C$ dzielą kąt prosty $C$ na trzy równe części.
Przykład 11
W trójkącie prostokątnym równoramiennym przyprostokątna ma długość $6$ cm. Oblicz długość środkowych tego trójkąta.
Przykład 12
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość $5$ i $12$. Oblicz sumę długości środkowej i wysokości tego trójkąta, poprowadzonych z wierzchołka kąta prostego.
Przykład 13
Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długość $6$ cm i $8$ cm. Oblicz odległość środka ciężkości tego trójkąta od wierzchołka kąta prostego.
Przykład 14
Oblicz długości środkowych w trójkącie równoramiennym, którego boki mają długość $16$ cm, $10$ cm, $10$ cm.
Przykład 15
W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość $30$ cm. Środek ciężkości tego trójkąta znajduje się w odległości $2\frac{2}{3}$ cm od podstawy. Oblicz obwód danego trójkąta.
Przykład 16
W trójkącie $\text{ABC}$ poprowadzono wysokości $\text{BD}$ i $\text{CE}$. Wykaż, że miary kątów $\text{ABD}$ i $\text{ACE~}$są równe.
Przykład 17
Wykaż, że jeżeli jedna z wysokości trójkąta jest jednocześnie środkową tego trójkąta, to ten trójkąt jest równoramienny.
Przykład 18
W trójkącie $\text{ABC}$ na wysokości $\text{CD}$ wybrano punkt $H$ taki, że $\left| \sphericalangle AHD \right| = |\sphericalangle ABC|$. Wykaż, że proste $\text{AH}$ i $\text{BC}$ są prostopadłe.
Przykład 19
Udowodnij, że jeżeli środkowa trójkąta równa się połowie boku, do którego została poprowadzona, to trójkąt jest prostokątny.
Przykład 20
W trójkącie $\text{ABC}$ kąt przy wierzchołku $A$ ma miarę $\alpha$, zaś kąt przy wierzchołku $B$ — miarę $\beta$, przy czym $\alpha < \beta$. Wykaż, że kąt między wysokością poprowadzoną z wierzchołka $C$ i dwusieczną kąta przy wierzchołku $C$ jest równy $\frac{\beta-\alpha}{2}$. Rozważ trzy przypadki, gdy kąt przy wierzchołku $B$ jest kątem ostrym, prostym lub rozwartym.
Przykład 21
Boki trójkąta $\text{ABC}$ mają długość: $\left| \text{AB} \right| = 13$ cm, $\left| \text{BC} \right| = 14$ cm, $\left| \text{AC} \right| = 15$ cm. Niech $D$ oznacza spodek wysokości poprowadzonej z wierzchołka $A$. Oblicz $|CD|$.
Przykład 22
W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę jest równa odcinkowi, który łączy środek podstawy ze środkiem ramienia. Podstawa trójkąta jest równa $a$. Wyznacz wysokość opuszczoną na podstawę.
Przykład 23
W trójkącie $\text{ABC}$ poprowadzono środkową $\text{CD}$. Wierzchołek $A$ połączono odcinkiem ze środkiem $E$ środkowej $\text{CD}$ i przedłużono go aż do przecięcia w punkcie $F$ z bokiem $\text{CB}$. Oblicz $\frac{\left| \text{CF} \right|}{\left| \text{FB} \right|}$.
Przykład 24
Wykaż, że w dowolnym trójkącie $\text{ABC}$ prawdziwa jest podwójna nierówność $\frac{3\left( a+b+c \right)}{4} < s_{a}+s_{b}+s_{c} < a+b+c$ gdzie $a,\ b,\ c$ oznaczają długości odpowiednich boków trójkąta, $s_{a},\ s_{b},\ s_{c}$oznaczają długości środkowych poprowadzonych odpowiednio do boków o długościach $a,\ b,\ c$.