'

Wysokości w trójkącie, środkowe w trójkącie

Co nazywamy wysokością trójkąta?

Wysokością trójkąta nazywamy odcinek (a także jego długość) łączący wierzchołek trójkąta z prostą zawierającą przeciwległy bok.

Twierdzenie

W dowolnym trójkącie wysokości lub ich przedłużenia przecinają się w jednym punkcie.

Punkt przecięcia wysokości trójkąta nazywamy ortocentrum.

Wysokości w wybranych trójkątach

W trójkącie równoramiennym wysokość poprowadzona na podstawę dzieli ją na połowy.

W trójkącie równobocznym wszystkie wysokości są równe.

W trójkącie prostokątnym wysokość $h$ poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na odcinki mające długość $x,\ y$, dla których $h = \sqrt{\text{xy}}$.

Przykład 1

Obwód trójkąta $\text{ABC}$ wynosi $42$ cm. Wysokość $\text{CD}$ dzieli go na dwa trójkąty, których obwody wynoszą $24$ cm i $30$ cm. Oblicz długość wysokości $\text{CD}$.

Przykład 2

Oblicz długość wysokości trójkąta równobocznego o boku długości

a) $8$

b) $4\sqrt{3}$

c) $2\sqrt{6}$

Przykład 3

Oblicz długość boku trójkąta równobocznego, którego wysokość ma długość:

a) $4\sqrt{3}$

b) $7\sqrt{6}$

c) $12$

Przykład 4

Oblicz długość boku trójkąta równobocznego wiedząc, że jest on o $2$ dłuższy od wysokości tego trójkąta.

Przykład 5

Oblicz obwód trójkąta prostokątnego równoramiennego wiedząc, że najkrótsza wysokość tego trójkąta jest o $3$ krótsza od pozostałych wysokości.

Przykład 6

W trójkącie prostokątnym wysokości mają długość: $6$ cm, $8$ cm, $4,8$ cm. Jaką długość mają odcinki, na które spodek wysokości, poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego, podzielił przeciwprostokątną?

Przykład 7

W trójkącie prostokątnym poprowadzono wysokość z wierzchołka kąta prostego. Spodek wysokości podzielił przeciwprostokątną na odcinki długości $x$ i $y$. Oblicz długość tej wysokości

a) $a = 7,\ b = 6$

b) $x = \sqrt{2},\ y = \sqrt{7}$

c) $x = 2\sqrt{\frac{14}{25}},\ y = 1,6$

Przykład 8

Obwód trójkąta równoramiennego ma długość $16$ cm, a wysokość opuszczona na podstawę ma długość $4$ cm. Oblicz długości boków tego trójkąta.

Czym jest środkowa w trójkącie?

Środkową trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku.

Twierdzenie

W dowolnym trójkącie trzy środkowe przecinają się w jednym punkcie, który dzieli każdą z nich w stosunku $1:2$.Punkt przecięcia środkowych nazywamy środkiem ciężkości trójkąta.

Środkowe w wybranych trójkątach

W trójkącie równoramiennym środkowa poprowadzona do podstawy jest jednocześnie wysokością.

W trójkącie równobocznym środkowe i wysokości pokrywają się.

W trójkącie prostokątnym środkowa poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość równą połowie długości przeciwprostokątnej.

Przykład 9

W trójkącie równoramiennym $\text{ABC}$ podstawa $\text{AB}$ ma długość $3$ cm, a środkowa $\text{CE}$ ma długość $6$ cm. Oblicz długości pozostałych środkowych.

Przykład 10

Oblicz miary kątów trójkąta prostokątnego $ABC,$wiedząc, że środkowa i wysokość poprowadzone z wierzchołka $C$ dzielą kąt prosty $C$ na trzy równe części.

Przykład 11

W trójkącie prostokątnym równoramiennym przyprostokątna ma długość $6$ cm. Oblicz długość środkowych tego trójkąta.

Przykład 12

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość $5$ i $12$. Oblicz sumę długości środkowej i wysokości tego trójkąta, poprowadzonych z wierzchołka kąta prostego.

Przykład 13

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długość $6$ cm i $8$ cm. Oblicz odległość środka ciężkości tego trójkąta od wierzchołka kąta prostego.

Przykład 14

Oblicz długości środkowych w trójkącie równoramiennym, którego boki mają długość $16$ cm, $10$ cm, $10$ cm.

Przykład 15

W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość $30$ cm. Środek ciężkości tego trójkąta znajduje się w odległości $2\frac{2}{3}$ cm od podstawy. Oblicz obwód danego trójkąta.

Przykład 16

W trójkącie $\text{ABC}$ poprowadzono wysokości $\text{BD}$ i $\text{CE}$. Wykaż, że miary kątów $\text{ABD}$ i $\text{ACE~}$są równe.

Przykład 17

Wykaż, że jeżeli jedna z wysokości trójkąta jest jednocześnie środkową tego trójkąta, to ten trójkąt jest równoramienny.

Przykład 18

W trójkącie $\text{ABC}$ na wysokości $\text{CD}$ wybrano punkt $H$ taki, że $\left| \sphericalangle AHD \right| = |\sphericalangle ABC|$. Wykaż, że proste $\text{AH}$ i $\text{BC}$ są prostopadłe.

Przykład 19

Udowodnij, że jeżeli środkowa trójkąta równa się połowie boku, do którego została poprowadzona, to trójkąt jest prostokątny.

Przykład 20

W trójkącie $\text{ABC}$ kąt przy wierzchołku $A$ ma miarę $\alpha$, zaś kąt przy wierzchołku $B$ — miarę $\beta$, przy czym $\alpha < \beta$. Wykaż, że kąt między wysokością poprowadzoną z wierzchołka $C$ i dwusieczną kąta przy wierzchołku $C$ jest równy $\frac{\beta-\alpha}{2}$. Rozważ trzy przypadki, gdy kąt przy wierzchołku $B$ jest kątem ostrym, prostym lub rozwartym.

Przykład 21

Boki trójkąta $\text{ABC}$ mają długość: $\left| \text{AB} \right| = 13$ cm, $\left| \text{BC} \right| = 14$ cm, $\left| \text{AC} \right| = 15$ cm. Niech $D$ oznacza spodek wysokości poprowadzonej z wierzchołka $A$. Oblicz $|CD|$.

Przykład 22

W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę jest równa odcinkowi, który łączy środek podstawy ze środkiem ramienia. Podstawa trójkąta jest równa $a$. Wyznacz wysokość opuszczoną na podstawę.

Przykład 23

W trójkącie $\text{ABC}$ poprowadzono środkową $\text{CD}$. Wierzchołek $A$ połączono odcinkiem ze środkiem $E$ środkowej $\text{CD}$ i przedłużono go aż do przecięcia w punkcie $F$ z bokiem $\text{CB}$. Oblicz $\frac{\left| \text{CF} \right|}{\left| \text{FB} \right|}$.

Przykład 24

Wykaż, że w dowolnym trójkącie $\text{ABC}$ prawdziwa jest podwójna nierówność $\frac{3\left( a+b+c \right)}{4} < s_{a}+s_{b}+s_{c} < a+b+c$ gdzie $a,\ b,\ c$ oznaczają długości odpowiednich boków trójkąta, $s_{a},\ s_{b},\ s_{c}$oznaczają długości środkowych poprowadzonych odpowiednio do boków o długościach $a,\ b,\ c$.