'

Wzory skróconego mnożenia

Twierdzenie 1

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $latex a$ i $latex b$ zachodzą wzory:

kwadrat sumy:
$latex {{\left( {a+b} \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}$

kwadrat różnicy:
$latex {{\left( {a-b} \right)}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}$

różnica kwadratów:
$latex {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left( {a-b} \right)\left( {a+b} \right)$

Przykład 1

Zapisz w postaci sumy algebraicznej:
a) $latex {{\left( {x+1} \right)}^{2}}$
b) $latex {{\left( {x+2} \right)}^{2}}$
c) $latex {{\left( {x+3} \right)}^{2}}$
d) $latex {{\left( {x-2} \right)}^{2}}$
e) $latex {{\left( {x-4} \right)}^{2}}$
f) $latex {{\left( {x-5} \right)}^{2}}$
g) $latex \left( {x-3} \right)\left( {x+3} \right)$
h) $latex \left( {x+5} \right)\left( {x-5} \right)$
i) $latex \left( {x-7} \right)\left( {x+7} \right)$

Przykład 2

Korzystając z odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia, oblicz:
a) $latex {{\left( {7x+1} \right)}^{2}}$
b) $latex {{\left( {\sqrt{2}+b} \right)}^{2}}$
c) $latex {{\left( {4x+5y} \right)}^{2}}$
d) $latex {{\left( {3a-2b} \right)}^{2}}$
e) $latex {{\left( {2\sqrt{2}-5x} \right)}^{2}}$
f) $latex {{\left( {\sqrt{2}x-\sqrt{8}y} \right)}^{2}}$
g) $latex \left( {4x+2y} \right)\left( {4x-2y} \right)$
h) $latex \left( {13x-14y} \right)\left( {13x+14y} \right)$
i) $latex \left( {\sqrt{3}a-\sqrt{6}b} \right)\left( {\sqrt{3}a+\sqrt{6}b} \right)$

Przykład 3

Oblicz:
a) $latex {{\left( {\sqrt{5}-\sqrt{3}} \right)}^{2}}$
b) $latex {{\left( {\sqrt{5}+\sqrt{3}} \right)}^{2}}$
c) $latex {{\left( {\sqrt{3}-2} \right)}^{2}}$
d) $latex {{\left( {4-\sqrt{3}} \right)}^{2}}$
e) $latex \left( {2\sqrt{3}-2} \right)\left( {2\sqrt{3}+2} \right)$
f) $latex \left( {\sqrt{5}-\sqrt{3}} \right)\left( {\sqrt{5}+\sqrt{3}} \right)$
g) $latex \left( {\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}} \right)\left( {\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}} \right)$

Przykład 4

Oblicz:
a) $latex {{\left( {\sqrt{6}-5\sqrt{2}} \right)}^{2}}-{{\left( {\sqrt{{15}}-2\sqrt{5}} \right)}^{2}}$
b) $latex {{\left( {5\sqrt{3}-\sqrt{6}} \right)}^{2}}-{{\left( {\sqrt{{10}}-3\sqrt{5}} \right)}^{2}}$

Przykład 5

Oblicz:
a) $latex \sqrt{{\sqrt{5}-1}}\cdot \sqrt{{\sqrt{5}+1}}$
b) $latex \sqrt{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}\cdot \sqrt{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}$
c) $latex \sqrt{{\sqrt{{17}}-4}}\cdot \sqrt{{\sqrt{{17}}+4}}$

Przykład 6.1

Doprowadź wyrażenie do najprostszej postaci, a następnie oblicz jego wartość dla podanej obok wartości zmiennej.
a) $latex {{\left( {2x-1} \right)}^{2}}-{{\left( {x-2} \right)}^{2}};~~~~x=1$
b) $latex {{\left( {x+2} \right)}^{2}}-3\left( {x+1} \right)\left( {x-1} \right);~~~~x=-2$
c) $latex 3{{\left( {2-3x} \right)}^{2}}+\left( {\sqrt{2}-\sqrt{{3x}}} \right)\left( {\sqrt{2}+\sqrt{{3x}}} \right)\left( {2+3x} \right);~~~~x=2\sqrt{2}$

Przykład 6.2

Oblicz pole powierzchni całkowitej sześcianu o krawędzi równej:
a) $latex 4-2\sqrt{3}$
b) $latex \sqrt{7}+\sqrt{5}$

Przykład 7

Oblicz obwód trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $latex a$ i $latex b$.
a) $latex a=3-\sqrt{2};~~~~b=3+\sqrt{2}$
b) $latex a=6-\sqrt{2};~~~~b=3+2\sqrt{2}$

Przykład 8

Rozłóż wyrażenia na czynniki, korzystając z odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia:
a) $latex {{x}^{2}}-2x+1$
b) $latex {{x}^{2}}+4x+4$
c) $latex {{x}^{2}}-6x+9$
d) $latex {{x}^{2}}-4$
e) $latex 49-{{x}^{2}}$
f) $latex 4{{x}^{2}}-4x+1$
g) $latex 4{{x}^{2}}-25{{y}^{2}}$
h) $latex 9-{{a}^{4}}{{y}^{2}}$
i) $latex 36{{x}^{4}}+12{{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{4}}$

Zadanie Maturalne 1

Przykład 9. [matura, czerwiec 2012]
Uzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych przy dzieleniu przez $latex 3$ daje resztę $latex 2$.

Zadanie Maturalne 2 

Przykład 10. [matura, sierpień 2014]
Uzasadnij, że każda liczba całkowita $latex k$, która przy dzieleniu przez $latex 7$ daje resztę $latex 2$, ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby $latex 3{{k}^{2}}$ przez $latex 7$ jest równa $latex 5$.

Zadanie Maturalne 3

Przykład 11. [matura, czerwiec 2018]
Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez $latex 8$ jest równa $latex 6$.