'

Zastosowanie przekształceń algebraicznych

Usuwanie niewymiernosci z mianownika

Zastosowanie wzoru $latex {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left( {a-b} \right)\left( {a+b} \right)$ do usuwania niewymierności z mianownika.

Przykład 1

Usuń niewymierność z mianownika:
a) $latex \frac{{10}}{{\sqrt{3}+1}}$
b) $latex \frac{{\sqrt{5}}}{{3-\sqrt{{10}}}}$
c) $latex \frac{1}{{\sqrt{2}-1}}$
d) $latex \frac{{\sqrt{2}-1}}{{\sqrt{2}+1}}$
e) $latex \frac{{\sqrt{3}+2}}{{2-\sqrt{3}}}$
f) $latex \frac{{3\sqrt{5}+1}}{{\sqrt{5}+3}}$

Przykład 2

Uzasadnij, że podane liczby są liczbami całkowitymi.
a) $latex \frac{1}{{\sqrt{2}-1}}-\sqrt{2}$
b) $latex \frac{1}{{3+\sqrt{6}}}+\frac{1}{{3-\sqrt{6}}}$
c) $latex \frac{{\sqrt{3}-2}}{{\sqrt{3}+2}}-\frac{{12}}{{\sqrt{3}}}$

Przykład 3

Rozwiąż równania:
a) $latex {{\left( {x-1} \right)}^{2}}-{{\left( {x+4} \right)}^{2}}=-2x+1$
b) $latex {{\left( {x+3} \right)}^{2}}-\left( {4-x} \right)\left( {4+x} \right)=2{{\left( {x-1} \right)}^{2}}+1$
c) $latex {{\left( {x-5} \right)}^{2}}-{{\left( {x-3} \right)}^{2}}=4\left( {x-2} \right)$
d) $latex {{\left( {x+4} \right)}^{2}}=8x$
e) $latex \left( {1-x} \right)\left( {1+x} \right)\left( {1+{{x}^{2}}} \right)-1=-{{x}^{4}}$
f) $latex {{\left( {x+1} \right)}^{2}}-{{\left( {2x-2} \right)}^{2}}+{{\left( {2x+3} \right)}^{2}}-{{\left( {4x-4} \right)}^{2}}=-15{{x}^{2}}+54x-10$

Przykład 4

Rozwiąż nierówność:
a) $latex 2{{\left( {x-1} \right)}^{2}}-{{\left( {x+3} \right)}^{2}}\le x\left( {x-2} \right)+1$
b) $latex x\left( {x-1} \right)+\left( {2-x} \right)\left( {2+x} \right)<-x+3$
c) $latex 4\left( {x-1} \right)\left( {x+1} \right)-{{\left( {2x-1} \right)}^{2}}>3$

Przykład 5

Dla jakich wartości $latex x$ podane wyrażenie przyjmuje wartość równą $latex 0$?
a) $latex {{x}^{2}}+2x+1$
b) $latex {{x}^{2}}-8x+16$
c) $latex 9-6x+{{x}^{2}}$
d) $latex 4{{x}^{2}}+4x+1$
e) $latex 49+14x+{{x}^{2}}$

Przykład 6

Wyznacz zbiór liczb spełniających układ nierówności
a) $latex \left\{ {\begin{matrix}{{{{\left( {x+1} \right)}}^{2}}-{{{\left( {x-4} \right)}}^{2}}>-5} \\ {{{{\left( {2x-1} \right)}}^{2}}+21-3{{x}^{2}}\ge {{{\left( {x+1} \right)}}^{2}}} \end{matrix}} \right.$

b) $latex \left\{ {\begin{matrix}{-{{{\left( {x-2} \right)}}^{2}}+5\ge -{{{\left( {x+3} \right)}}^{2}}} \\ {{{{\left( {3x-1} \right)}}^{2}}-{{{\left( {2-x} \right)}}^{2}}>8{{x}^{2}}-9} \end{matrix}} \right.$