'

Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia

Przypomnijmy wzory

• kwadrat sumy: $latex {{\left( {a+b} \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}$
• kwadrat różnicy: $latex {{\left( {a-b} \right)}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}$
• różnica kwadratów:  $latex {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left( {a-b} \right)\left( {a+b} \right)$

Przykład 1

Oblicz iloczyn, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia:
a) $latex \left( {\text{x}-3} \right)\left( {\text{x}+3} \right)$
b) $latex \left( {2\text{x}-1} \right)\left( {2\text{x}+1} \right)$
c) $latex \left( {3\text{x}-4} \right)\left( {3\text{x}+4} \right)$
d) $latex \left( {{{\text{x}}^{2}}-\frac{1}{2}} \right)\left( {{{\text{x}}^{2}}+\frac{1}{2}} \right)$
e) $latex {{\left( {2\text{x}+1} \right)}^{2}}$
f) $latex {{\left( {\sqrt{2}\text{x}-1} \right)}^{2}}$
g) $latex {{\left( {2{{\text{x}}^{2}}+1} \right)}^{2}}$
h) $latex {{\left( {\text{x}-3{{\text{x}}^{2}}} \right)}^{2}}$
i) $latex {{\left( {\sqrt{6}\text{x}+\sqrt{3}{{\text{x}}^{2}}} \right)}^{2}}$

Przykład 2

Wyznacz iloczyn, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia:
a) $latex \left( {\text{x}-2} \right)\left( {\text{x}+2} \right)\left( {{{\text{x}}^{2}}+4} \right)$
b) $latex \left( {3\text{x}+1} \right)\left( {9{{\text{x}}^{2}}+1} \right)\left( {3\text{x}-1} \right)$
c) $latex \left( {\sqrt{3}-\text{x}} \right)\left( {\sqrt{3}+\text{x}} \right)\left( {{{\text{x}}^{2}}+3} \right)$
d) $latex \left( {{{\text{x}}^{2}}-4\text{x}+4} \right){{\left( {\text{x}+2} \right)}^{2}}$
e) $latex {{\left( {\text{x}+3} \right)}^{2}}{{\left( {\text{x}-3} \right)}^{2}}$
f) $latex {{\left( {{{\text{x}}^{2}}-2\text{x}} \right)}^{2}}{{\left( {{{\text{x}}^{2}}+2\text{x}} \right)}^{2}}$

Przykład 3

Udowodnij podane równości:
a) $latex {{\text{a}}^{2}}+{{\text{b}}^{2}}={{\left( {\text{a}+\text{b}} \right)}^{2}}-2\text{ab}$
b) $latex {{\text{a}}^{2}}+{{\text{b}}^{2}}={{\left( {\text{a}-\text{b}} \right)}^{2}}+2\text{ab}$
c) $latex {{\left( {\text{a}+\text{b}} \right)}^{2}}+{{\left( {\text{a}-\text{b}} \right)}^{2}}=2\left( {{{\text{a}}^{2}}+{{\text{b}}^{2}}} \right)$
d) $latex {{\left( {\text{a}+\text{b}} \right)}^{2}}-{{\left( {\text{a}-\text{b}} \right)}^{2}}=4\text{ab}$

Przykład 4

Oblicz $latex a,b$ jeśli są one liczbami naturalnymi, a pole figury przedstawionej obok jest równe:
a) $latex \text{P}=19$
b) $latex \text{P}=23$