'

Zbiór wartości funkcji liczbowej

Przykład 1

Podaj zbiór wartości funkcji $latex f$, jeśli
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=5$, $latex ~~~~\text{x}\in \left\{ {-\sqrt{2},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\sqrt{2}+3} \right\}$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-{{\text{x}}^{2}}$, $latex ~~~~\text{x}\in \left\{ {-\sqrt{2},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }0,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2} \right\}$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=2-\left| \text{x} \right|$, $latex ~~~~\text{x}\in \left\{ {-\frac{1}{2},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }0,\frac{1}{2},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2} \right\}$

Przykład 2

Funkcja $latex f$ jest określona wzorem $latex f\left( x \right)=\frac{{x+1}}{{3x}}$, gdzie $latex x\in \left\{ {-2,~-1,~1,~2,~3} \right\}$. Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.

Przykład 3

Funkcja $latex f$ jest określona wzorem
$latex f\left( x \right)=\sqrt{{3x-1}}$, jeśli $latex x\in \left\{ {\frac{1}{3},~\frac{2}{3},~\frac{5}{3},~3\frac{1}{3},\frac{{17}}{3}} \right\}.$ Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.

Przykład 4

Funkcja $latex f$ każdej liczbie ze zbioru $latex \left\{ {3,~6,~10,~12,~17} \right\}$ przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez $latex 5$. Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.

Przykład 5

Zbiorem wartości funkcji opisanej wzorem $latex f\left( x \right)=2-\frac{3}{{x-1}}$ jest zbiór $latex \left\{ {-3,~-2,~0,~1} \right\}$. Wyznacz dziedzinę tej funkcji.

Przykład 6

Na poniższych rysunkach przedstawione są wykresu funkcji. Podaj zbiór wartości każdej z nich.

Przykład 7

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $latex f$. Na podstawie wykresu funkcji $latex f$:
a) podaj dziedzinę funkcji
b) podaj zbiór wartości funkcji
c) podaj wartość $latex f\left( {-3} \right),~f\left( 1 \right)$
d) odczytaj argumenty, dla których wartość funkcji wynosi $latex 2$.

Przykład 8

Narysuj wykres funkcji $latex f$, która spełnia jednocześnie następujące warunki:
• $latex {{D}_{f}}=\left( {-3,~0} \right)\cup \langle 3,~6)$
• $latex ZW=\langle -4,~3)$
• do wykresu funkcji należy punkt $latex A\left( {5,~1} \right)$

Przykład 9

Funkcja $latex f$ jest określona w zbiorze $latex {{D}_{f}}$. Wyznacz zbiór wartości tej funkcji jeśli
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{1}{2}\text{x}$, $latex {{\text{D}}_{\text{f}}}=\langle 4,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }+\infty )$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-2\text{x},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{D}}_{\text{f}}}=\left( {-\infty ,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }3} \right)$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\sqrt{\text{x}},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{D}}_{\text{f}}}=\langle 9,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }+\infty )$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\text{x}}^{2}}+3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{D}}_{\text{f}}}=\mathbb{R}$
e) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)={{\text{x}}^{3}},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{D}}_{\text{f}}}=\langle -1,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2 \rangle$
f) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{1}{\text{x}},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{D}}_{\text{f}}}=\langle -2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-\frac{1}{4})$
g) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\left| \text{x} \right|,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{D}}_{\text{f}}}=\langle -3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }2)$

Przykład 10

Która z liczb $latex -\frac{1}{3},~5,~8$ może być wartością funkcji $latex f\left( x \right)=-3x+2$, gdzie $latex x\in \mathbb{Z}$.

Przykład 11

Funkcja $latex f$ jest określona wzorem $latex f\left( x \right)=\frac{1}{4}{{x}^{2}}+1$, $latex x\in \mathbb{Q}$. Sprawdź czy do zbioru wartości funkcji $latex f$ należą liczby $latex \left\{ {-1,~1,~5,~6} \right\}$.

Przykład 12

Naszkicuj wykres funkcji $latex f$, a następnie wyznacz zbiór wartości funkcji $latex f$:
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{{{\text{x}}^{2}}}}{{\left| \text{x} \right|}}$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{3\left| \text{x} \right|}}{\text{x}}$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{\left| \text{x} \right|}}{{{{\text{x}}^{2}}}}$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{\left| {\text{x}-2} \right|}}{{2-\text{x}}}$
e) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{\left| {\text{x}-3} \right|}}{{3-\text{x}}}$

Przykład 13

Naszkicuj wykres funkcji $latex f$, a następnie podaj zbiór wartości tej funkcji
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\max \left( {\text{x},\text{ }\!\!~\!\!\text{ }3} \right),\text{ }\!\!~\!\!\text{ x}\in \mathbb{R}$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\min \left( {3,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left| \text{x} \right|} \right),\text{ }\!\!~\!\!\text{ x}\in \mathbb{R}$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\max \left( {\left| {\text{x}-2} \right|,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }1} \right),\text{ }\!\!~\!\!\text{ x}\in \mathbb{R}$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\min \left( {-\text{x}+2,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-1} \right),\text{ }\!\!~\!\!\text{ x}\in \mathbb{R}$

Przykład 14

Określ dziedzinę funkcji. Naszkicuj wykres funkcji, a następnie podaj zbiór wartości tej funkcji.
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\sqrt{{{{\text{x}}^{2}}-4\text{x}+4}}$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{\sqrt{{{{\text{x}}^{2}}+2\text{x}+1}}}}{{2\text{x}+2}}$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{\left| {\text{x}+2} \right|}}{{\sqrt{{{{{\left( {\text{x}+2} \right)}}^{2}}}}}}$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{{-3\text{x}-3}}{{\sqrt{{{{\text{x}}^{2}}+2\text{x}+1}}}}$

Przykład 15

Określ dziedzinę funkcji $latex f$. Naszkicuj wykres tej funkcji, a następnie wyznacz zbiór wartości tej funkcji.
a) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=4~ \text{sgn} \left( {\text{x}-1} \right)$
b) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=-2~ \text{sgn} \left( {{{\text{x}}^{2}}} \right)$
c) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{3}{{\text{sgn} \left( {\text{x}+1} \right)}}$
d) $latex \text{f}\left( \text{x} \right)=\frac{5}{{\text{sgn} \left( {-{{\text{x}}^{4}}-2} \right)}}$