'

Zbiory liczbowe

Definicja 1

• Zbiory oznaczamy wielkimi literami.
• Aby opisać zbiór, należy określić, jakie są jego elementy (słownie lub jeśli można to wypisać wszystkie elementy, albo podanie warunku, który muszą spełniać jego elementy).
• Zbiór skończony to taki, który ma skończoną liczbę elementów.
• Zbiorem nieskończonym nazywamy taki zbiór, do którego należy nieskończenie wiele elementów.
• Zbiór pusty, to taki zbiór, do którego nie należy żaden element. Ozn. $latex \text O $

Przykład 1

Wypisz wszystkie elementy zbiorów $latex A, B, C.$
$latex A$ – zbiór liczb naturalnych, których kwadraty są mniejsze lub równe 16.
$latex B$ – zbiór liczb całkowitych, których kwadrat wynosi 25.
$latex C$ – zbiór liczb naturalnych parzystych nie większych niż 18.

Przykład 2

Wypisz elementy zbioru A, jeśli:
a) $latex \text{A}=\left\{ {\text{x}:\text{x}\in \mathbf{N}\text{ }\!\!~\!\!\text{ i } \text{x}\le 9} \right\}$
b) $latex \text{A}=\left\{ {\text{x}:\text{x}\in \mathbf{Z}\text{ }\!\!~\!\!\text{ i }\!\!~\!\!\text{ }{{\text{x}}^{2}}=81} \right\}$
c) $latex \text{A}=\{\text{x}:\text{x}\in \mathbf{N}\text{ }\!\!~\!\!\text{ i }\!\!~\!\!\text{ x}>40\}$
d) $latex \text{A}=\left\{ {\text{x}:\text{x}\in \mathbf{Z}\text{ }\!\!~\!\!\text{ i}-5\le \text{x}\le 5} \right\}$

Definicja 2

Dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same elementy.

Przykład 3

Które spośród zbiorów A, B, C są równe?
a)
$latex A=\left\{ {-5,~-2,~0,~2,~5} \right\}~$
$latex B=\left\{ {-5,~-2,~0,~2,~5,~6} \right\}$
$latex C=\left\{ {-5,~5,~-2,~2,~0} \right\}$

b)
$latex A=\left\{ {-7,~7} \right\}~$
$latex B=\left\{ {x:x~\in~~N~i~{{x}^{2}}=49} \right\}$
$latex C=\left\{ {x:x~\in~Z~i~{{x}^{2}}=49} \right\}$

Definicja 3

Jeżeli każdy element zbioru A jest elementem zbioru B, to zbiór A zawiera się w zbiorze B. Wobec tego zbiór A jest podzbiorem zbioru B, co zapisujemy jako:
a) $latex A\subset B$
Jeżeli zbiór A nie zawiera się w zbiorze B, zapisujemy to jako:
b) $latex A\not\subset B$

Przykład 4

Dane są zbiory:
$latex A=\left\{ {1,~2,~3,~4,~5,~6,~7,~8,~9} \right\}$,
$latex B=\left\{ {3,~6,~9} \right\}$,
$latex C=\left\{ {2,~5} \right\}$.
Ustal zależności między tymi zbiorami.

Przykład 5

Ustal, które z poniższych zdań są prawdziwe, a które fałszywe:
a) Każda liczba naturalna jest liczbą całkowitą.
b) Każda liczba naturalna jest liczbą wymierną.
c) Każda liczba wymierna jest liczbą całkowitą.
d) Istnieje liczba niewymierna, która jest liczbą naturalną.
e) Istnieje liczba wymierna, która nie jest liczbą całkowitą.

Przykład 6

Wypisz wszystkie elementy zbiorów A, B, a następnie sprawdź, czy zachodzi któraś z zależności: $latex A\subset B,~~B\subset \text{A}$.
$latex A\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$ zbiór dzielników liczby 6
$latex B~-~$ zbiór dzielników liczby 18.

Przykład 7

Wypisz wszystkie podzbiory zbioru:
a) $latex \text{A}=\left\{ 1 \right\}$
b) $latex \text{A}=\left\{ {4,5,6} \right\}$
c) $latex \text{A}=\left\{ {\text{a},\text{b},\text{c}} \right\}$

Przykład 8

Wypisz wszystkie czteroelementowe podzbiory zbioru $latex \left\{ {1,~2,~3,~4,~5} \right\}$.