'

Zdarzenia losowe

Wprowadzenie

Doświadczeniem losowym nazywamy taki powtarzalny eksperyment, w którym konkretnego wyniku nie jesteśmy w stanie przewidzieć, ale znamy wszystkie możliwe wyniki. Zakładamy także, że każdy z tych wyników jest rozłączny z pozostałymi. Wyniki te będziemy nazywać zdarzeniami elementarnymi. Zbiór wszystkich zdarzeń nazywamy przestrzenią zdarzeń elementarnych. Przestrzeń zdarzeń elementarnych oznaczamy dużą literą omega Ω.

Przykład 1

Doświadczenie losowe polega na jednokrotnym rzucie monetą. Podaj przestrzeń zdarzeń elementarnych.

Przykład 2

Doświadczenie losowe polega na jednokrotnym rzucie kostką. Podaj przestrzeń zdarzeń elementarnych.

Przykład 3

Doświadczenie losowe polega na:
a) Dwukrotnym rzucie monetą.
b) Trzykrotnym rzucie monetą.
Podaj przestrzeń zdarzeń elementarnych.

Przykład 4

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie kostką sześcienną. Podaj przestrzeń zdarzeń elementarnych.

Przykład 5

W następujących doświadczeniach losowych określ przestrzeń zdarzeń elementarnych:
a) Losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem ze zbioru $latex \left\{ {1,~2,~3} \right\}$.
b) Losujemy dwa razy po jednej liczbie bez zwracania ze zbioru $latex \left\{ {1,~2,~3} \right\}$.
c) Losujemy jednocześnie dwie liczby ze zbioru $latex \left\{ {1,~2,~3} \right\}$.
d) Losujemy jedną kulę z urny, w której znajduje się jedna kula czerwona i jedna zielona.
e) Losujemy jedną kulę z urny, w której znajdują się jedna kula biała, jedna żółta, jedna zielona.
f) Losujemy jedną kulę z urny, w której znajdują się jedna kula biała, jedna żółta, jedna zielona i jedna czerwona.
g) Losujemy jednocześnie dwie kule z urny, w której znajdują się jedna kula biała, jedna czerwona, jedna zielona i jedna fioletowa.

Przykład 6

W następujących doświadczeniach losowych określ przestrzeń zdarzeń elementarnych.
a) Losujemy jedną kulę z urny, w której są dwie kule czerwone i jedna zielona.
b) Losujemy jedną kulę z urny, w której są trzy kule zielone i jedna czerwona.
c) Losujemy jednocześnie dwie kule z urny, w której są trzy kule czerwone i jedna zielona.
d) Losujemy jednocześnie dwie kule z urny, w której znajdują się trzy kule zielone i dwie kule czarne.
e) Losujemy dwa razy po jednej kuli ze zwracaniem z urny, w której znajdują się trzy kule zielone i jedna czerwona.
f) Losujemy dwa razy po jednej kuli bez zwracania z urny, w której znajdują się trzy kule zielone i dwie kule czerwone.

Przykład 7

Rzucamy dwa razy kostką. Wypisz wyniki sprzyjające zdarzeniom:
A – wypadła nieparzysta liczba oczek
B – wypadła liczba oczek większa od 10
C – wypadła liczba oczek mniejsza od 8

Przykład 8

Rzucamy dwa razy sześcienną kostką do gry. Podaj wyniki sprzyjające zdarzeniom:
A – suma oczek będzie liczbą parzystą
B – suma otrzymanych oczek będzie mniejsza od 5
C – iloczyn liczb oczek będzie liczbą nieparzystą
D – iloczyn liczb oczek będzie liczbą pierwszą
E – wartość bezwzględna różnicy liczby oczek będzie liczbą nieparzystą

Przykład 9

Rzucamy raz monetą. W przypadku otrzymania reszki doświadczenie jest zakończone, a gdy otrzymamy orła, to rzucamy monetą jeszcze raz. Określ zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych.

Przykład 10

Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Określ zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych, a następnie wypisz wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu:
A – otrzymamy jedną reszkę
B – otrzymamy dokładnie dwie reszki
C – otrzymamy co najmniej jedną reszkę
D – otrzymamy co najwyżej jednego orła

Przykład 11

Z urny, w której jest pięć ponumerowanych kul od 1 do 5 losujemy kolejno bez zwracania dwie kule.
a) Wypisz zdarzenia:
A – za pierwszym razem wylosowano liczbę parzystą
B – iloczyn wylosowanych liczb jest równy 6
C – druga wylosowana liczba jest mniejsza od pierwszej
b) Wyznacz $latex A\cup B,~A\cap B,~A\cap C,~B\cap C,~$
$latex A\cap B\cap C$