'

Związki między funkcjami trygonometrycznymi

Wstęp

Tożsamością trygonometryczną nazywamy równość, w której zmienne występują wyłącznie w argumentach funkcji trygonometrycznych i która jest prawdziwa dla wszystkich wartości tych zmiennych (dla której funkcje są określone).
Podstawowe tożsamości trygonometryczne
1. $latex {{\sin }^{2}}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }+{{\cos }^{2}}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }=1$ (jedynka trygonometryczna)
2. $latex \text{tg }\!\!\alpha\!\!\text{ }=\frac{{\sin \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }}}{{\cos \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }}}$
3. $latex \text{ctg }\!\!\alpha\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }=\frac{{\cos \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }}}{{\sin \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }}}$
4. $latex \text{tg }\!\!\alpha\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\cdot \text{ctg }\!\!\alpha\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }=1$

Przykład 1

Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego $latex \alpha $, jeśli:
a) $latex \sin \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }=\frac{2}{5}$
b) $latex \cos \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }=\frac{1}{3}$
c) $latex \text{tg }\!\!\alpha\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }=2$

Twierdzenie

a) $latex \sin \left( {90{}^\circ -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }} \right)=\cos \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$
b) $latex \cos \left( {90{}^\circ -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }} \right)=\sin \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$
c) $latex \text{tg}\left( {90{}^\circ -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }} \right)=\text{ctg}\alpha =\frac{1}{{\text{tg }\!\!\alpha\!\!\text{ }}}$

Przykład 2

Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego $latex \alpha $, jeśli
a) $latex \sin \left( {90{}^\circ -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }} \right)=0,8$
b) $latex \cos \left( {90{}^\circ -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }} \right)=\frac{3}{5}$
c) $latex \text{tg}\left( {90{}^\circ -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }} \right)=\frac{2}{3}$

Przykład 3

W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma miarę $latex \alpha $, a przeciwprostokątna ma długość $latex c$. Oblicz długości przyprostokątnych trójkąta, jeśli:
a) $latex \text{tg }\!\!\alpha\!\!\text{ }=\frac{4}{5},\text{ }\!\!~\!\!\text{ c}=82$
b) $latex \text{tg }\!\!\alpha\!\!\text{ }=\sqrt{5},\text{ }\!\!~\!\!\text{ c}=6\sqrt{6}$

Przykład 4

Przedstaw w najprostszej postaci:
a) $latex (1+\sin \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ })(1-\sin \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ })$
b) $latex \frac{{\sin \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }}}{{\text{tg }\!\!\alpha\!\!\text{ }}}$
c) $latex \text{tg }\!\!\alpha\!\!\text{ }\cdot \cos \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$
d) $latex (1+\text{cos}\left( {90{}^\circ -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }} \right)\left( {1-\sin \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }} \right)$
e) $latex \text{tg }\!\!\alpha\!\!\text{ }\cdot \text{tg}\left( {90{}^\circ -\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }} \right)$
f) $latex \frac{1}{{{{{\cos }}^{2}}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }}}(1-{{\sin }^{2}}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ })$

Przykład 5

Doprowadź wyrażenia do prostszej postaci
a) $latex {{\sin }^{3}}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }+\sin \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\cdot {{\cos }^{2}}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$
b) $latex {{\cos }^{4}}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }+{{\sin }^{2}}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\cdot {{\cos }^{2}}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$
c) $latex \sin \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }-{{\cos }^{2}}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\cdot \sin \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$
d) $latex {{(5\sin \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }-2\cos \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ })}^{2}}+{{(2\sin \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }+5\cos \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ })}^{2}}$
e) $latex {{\sin }^{2}}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }+{{\sin }^{2}}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\cdot {{\cos }^{2}}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }+{{\cos }^{4}}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$
f) $latex \frac{{{{{(\sin \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }+\cos \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ })}}^{2}}}}{{1+2\sin \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\cdot \cos \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }}}$

Przykład 6

Sprawdź, czy podane równania są tożsamościami trygonometrycznymi:
a) $latex \left( {1+\cos \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }} \right)(1-\cos \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ })={{\sin }^{2}}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$
b) $latex (\cos \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }-\sin \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ })(\cos \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }+\sin \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ })=2{{\cos }^{2}}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }-1$
c) $latex 2{{\sin }^{2}}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }-1=1-2{{\cos }^{2}}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$
d) $latex {{(\cos \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }+\sin \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ })}^{2}}+{{(\cos \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }-\sin \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ })}^{2}}=2$
e) $latex {{(\cos \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }+\sin \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ })}^{2}}-{{(\cos \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }-\sin \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ })}^{2}}=4\sin \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\cdot \cos \text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$
f) $latex {{\sin }^{4}}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }-{{\cos }^{4}}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }={{\sin }^{2}}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }-{{\cos }^{2}}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$
g) $latex {{\sin }^{4}}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }+{{\cos }^{4}}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }=1-2{{\sin }^{2}}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\cdot {{\cos }^{2}}\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }$

Przykład 7

Wiedząc, że $latex tg\alpha =3$. Oblicz wartość wyrażenia:
$latex \frac{{\sin \alpha +\cos \alpha }}{{\sin \alpha -\cos \alpha }}.$